NCERT解决方案-第9类-第8章四边形-练习8.1

本文提供了NCERT课本“数学”第9类的第8章“四边形”的第1个练习的解决方案。这个练习覆盖了“平行四边形”和“矩形”的基本概念和性质。

要求程序员能够使用这些解决方案并将它们整合到自己的代码中，以帮助学生理解和掌握这些概念和性质。

练习8.1题目

1. 在下图中，ABCD是一个平行四边形。如果AE是高，证明(证实)BE等于CD。

   

2. 已知ABCD是一个矩形，证明(证实)AC等于BD。

解决方案

1. 证明BE等于CD

首先，我们需要明确以下定义和性质：

• 平行四边形：一对相对的边平行。
• 垂线：与一条线段相交且与该线段的两端点连线垂直的线段。
• 高：指与底边所在的直线垂直的线段。
• 对边：指相对的两条边。
• 同侧内角：指在平行四边形内部、在对边同侧的两个角。

下面考虑证明BE等于CD：

• 由于ABCD是一个平行四边形，所以AE与CD垂直。
• 由于AE是高，所以AE与BE垂直。
• 因为同侧内角是补角，所以∠ABE+∠CDE=180°。
• 同时注意到∠ABE和∠CDE均为直角，所以它们的度数相等。
• 由于∠ABE和∠CDE的度数相等且为同侧内角，所以∠AEB和∠CED的度数也相等且为同侧内角。
• 因此，AE和CD之间的距离相等于BE和AD之间的距离。
• 最后，由于AD和BC是对边，我们可以得出BE等于CD。

因此，我们证明了BE等于CD。

2. 证明AC等于BD

现在考虑证明AC等于BD。由于ABCD是一个矩形，我们知道：

• 其对边相等。
• 其对角线互相垂直并相等。

注意到AC和BD都是对角线，所以我们只需要证明它们相等即可。

考虑以下步骤：

• 连接线段AB和线段CD的中点M和N，它们形成的线段MN是平行四边形ACBD的一条中位线。
• 因此，MN等于这个平行四边形两条对边之间距离的一半。
• 我们可以利用三角形的相似性证明，AMN和BCN是相似的。
• 由于三角形相似，AN/BC=MN/NC。
• 由于M和N是线段AB和CD的中点，所以BM等于ND。
• 由此，我们可以证明AN=NC，故AN/BC=1。
• 因此，MN/NC=MN/AN。
• 又因为MC和AB是平行的，我们可以用三角形的相似性证明CMN和CAM是相似的。
• 由于三角形相似，CM/CN=CA/MN。
• 正如MN等于AC和BD之间距离的一半，我们可以再次利用传递性证明AC等于BD。

因此，我们证明了AC和BD相等。

结论

在这个NCERT课本的第9类第8章的第1个练习中，我们证明了平行四边形和矩形的一些性质。这些证明有助于学生理解和掌握这些基本几何概念，并为更高级别的几何概念和技术打下坚实的基础。