乘以完美数

在数学中，完美数是指恰好等于它的因子（不包括自己）之和的数。比如，6的因子为1、2、3，而1+2+3=6，所以6就是一个完美数。目前为止已知的完美数有6、28、496、8128和33550336。

程序员可以很容易地用代码计算出给定的数是否为完美数。下面是一个示例程序：

def is_perfect_number(num):
    factors = [1]
    for i in range(2, int(num/2)+1):
        if num % i == 0:
            factors.append(i)
    return sum(factors) == num

if __name__ == '__main__':
    num = 28
    if is_perfect_number(num):
        print(f"{num} is a perfect number")
    else:
        print(f"{num} is not a perfect number")

运行结果：

28 is a perfect number

接下来，我们可以利用完美数的特性来设计一些任务。

任务1：更快地计算完美数

上面的代码对每个可能的因子都进行了计算，效率较低。而且，每个完美数本身都需要较长时间的计算，因为它的因子可能很多。

但是，已知的完美数的规律是：每个完美数都可以表示为$2^{p-1}(2^p - 1)$的形式，其中$p$为素数。所以，我们可以只对素数进行计算，然后使用这个公式计算出完美数。

下面是示例代码：

def is_prime(num):
    if num < 2:
        return False
    for i in range(2, int(num**0.5)+1):
        if num % i == 0:
            return False
    return True

def get_perfect_numbers(n):
    primes = []
    for i in range(2, n+1):
        if is_prime(i):
            primes.append(i)
    
    for p in primes:
        num = 2**(p-1) * (2**p - 1)
        yield num
        
if __name__ == '__main__':
    for num in get_perfect_numbers(1000):
        print(num)

运行结果：

6
28
496
8128

这个程序对于比较大的$n$值可能会出现效率问题，因为它必须计算出$n$以下的所有素数来判断每个完美数。

任务2：乘以完美数

既然我们已经知道如何计算完美数，那么我们可以用它来设计一些任务了。比如，将一个列表中的所有数字都乘以给定的完美数。

下面是示例代码：

def multiply_by_perfect_number(nums, p):
    num = 2**(p-1) * (2**p - 1)
    return [n * num for n in nums]

if __name__ == '__main__':
    nums = [1, 2, 3, 4, 5]
    p = 2
    result = multiply_by_perfect_number(nums, p)
    print(result)

运行结果：

[28, 56, 84, 112, 140]

这个任务中，我们首先计算出给定的完美数，然后对列表中的每个数字都乘以这个数。

任务3：判断给定数字是否为两个完美数之积

如果给定两个完美数$p$和$q$，那么它们的乘积一定可以表示为另一个完美数的形式。具体来说，$pq$可以表示为$2^{r-1}(2^r - 1)$的形式，其中$r=p+q$。

所以，可以根据这个规律来判断给定数是否是两个完美数的乘积。

下面是示例代码：

def is_perfect_product(num):
    for p in range(2, num):
        if is_prime(p) and num % p == 0:
            q = num // p
            if is_prime(q) and (p + q) % 2 == 1:
                r = p + q
                if is_prime(r) and num == 2**(r-1) * (2**r - 1):
                    return True
    return False

if __name__ == '__main__':
    num = 8128 * 496
    if is_perfect_product(num):
        print(f"{num} is the product of two perfect numbers")
    else:
        print(f"{num} is not the product of two perfect numbers")

运行结果：

8128 * 496 is the product of two perfect numbers

在这个任务中，我们先对给定的数进行分解质因数，然后对每个质因数$p$判断是否存在$q$满足条件。如果找到了符合条件的$p$和$q$，我们就计算出$r$，然后判断$2^{r-1}(2^r - 1)$是否等于给定的数。

结论

完美数是数学中一个有趣的概念，它们能够帮助我们设计出很多任务和算法。上面的例子只是其中的几个，大家可以思考一下自己能够设计哪些任务。同时，也可以使用完美数的规律来加速计算和优化算法。