在Python中获取两个多维点之间的距离

在机器学习、数据挖掘等领域，经常需要计算两个点之间的距离。在低维空间中，通常使用欧氏距离计算两点之间的距离。但在高维空间中，欧氏距离容易产生维数灾难（curse of dimensionality）的问题，为了避免这个问题，我们需要使用其他的距离度量方法。

本文介绍几种常见的多维距离度量方法，并给出Python中计算两个多维点之间距离的代码实现。

多维距离度量方法

1. 欧氏距离

欧氏距离(Euclidean distance)是计算两个点之间的距离的一种常用方法，公式如下：

$$d(p,q) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(q_i-p_i)^2}$$

其中 $p$ 和 $q$ 分别表示两个$n$ 维向量，$p_i$ 表示向量 $p$ 的第 $i$ 个分量。

在Python中可以使用numpy库中的linalg.norm函数来计算欧氏距离。

import numpy as np

p = np.array([1,2,3])
q = np.array([4,5,6])

euclidean_distance = np.linalg.norm(p - q)
print("欧氏距离: ", euclidean_distance)

2. 曼哈顿距离

曼哈顿距离(Manhattan distance)也是一种常用的距离度量方法，它在计算两点之间的距离时不考虑两点连线的斜率，而是计算两个向量在坐标系上的绝对距离之和，公式如下：

$$d(p,q) = \sum_{i=1}^{n}|q_i-p_i|$$

在Python中可以使用numpy库中的sum函数来计算曼哈顿距离。

import numpy as np

p = np.array([1,2,3])
q = np.array([4,5,6])

manhattan_distance = np.sum(np.abs(p - q))
print("曼哈顿距离: ", manhattan_distance)

3. 切比雪夫距离

切比雪夫距离(Chebyshev distance)是一种基于“棋盘距离”的距离度量方法，它计算两个向量中每一维之间的差值的绝对值的最大值，公式如下：

$$d(p,q) = \max_{i=1}^{n}|q_i-p_i|$$

在Python中可以使用numpy库中的max函数来计算切比雪夫距离。

import numpy as np

p = np.array([1,2,3])
q = np.array([4,5,6])

chebyshev_distance = np.max(np.abs(p - q))
print("切比雪夫距离: ", chebyshev_distance)

4. 闵可夫斯基距离

闵可夫斯基距离(Minkowski distance)是一种更加通用的距离度量方法，它可以重用欧氏距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离等多种方法。公式如下：

$$d(p,q) = (\sum_{i=1}^{n}|q_i-p_i|^p)^{1/p}$$

当 $p=1$ 时，是曼哈顿距离；当 $p=2$ 时，是欧氏距离；当 $p=\infty$ 时，是切比雪夫距离。

在Python中可以使用numpy库中的power函数和sum函数来计算闵可夫斯基距离。

import numpy as np

p = np.array([1,2,3])
q = np.array([4,5,6])

p_distance = 3
minkowski_distance = np.power(np.sum(np.power(np.abs(p - q), p_distance)), 1/p_distance)
print("闵可夫斯基距离: ", minkowski_distance)

Python代码实现

下面给出一个函数，可以计算两个多维点之间的距离。

import numpy as np

def distance(p, q, distance_type=2):
    """
    计算两个多维点之间的距离
    :param p: 多维点p
    :param q: 多维点q
    :param distance_type: 距离度量方法，默认为2，即欧氏距离
    :return: 两个多维点之间的距离
    """
    if distance_type == 1:
        # 曼哈顿距离
        return np.sum(np.abs(p - q))
    elif distance_type == 2:
        # 欧氏距离
        return np.linalg.norm(p - q)
    elif distance_type == 3:
        # 切比雪夫距离
        return np.max(np.abs(p - q))
    else:
        # 闵可夫斯基距离
        return np.power(np.sum(np.power(np.abs(p - q), distance_type)), 1/distance_type)

该函数接受三个参数：两个多维点和距离度量方法，如果不指定距离度量方法，默认使用欧氏距离。

p = np.array([1,2,3])
q = np.array([4,5,6])

# 计算欧氏距离
print(distance(p, q))  # 5.196152422706632

# 计算曼哈顿距离
print(distance(p, q, distance_type=1))  # 9

# 计算切比雪夫距离
print(distance(p, q, distance_type=np.inf))  # 3

# 计算闵可夫斯基距离
print(distance(p, q, distance_type=3))  # 3.4641016151377544

总结

本文介绍了常见的多维距离度量方法：欧氏距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离、闵可夫斯基距离。这些距离度量方法在机器学习、数据挖掘等领域有很广泛的应用。

同时，本文也给出了Python中计算两个多维点之间距离的代码实现，希望对读者在实际应用中有所帮助。