查找第 N 个斐波那契数的快速加倍方法

简介

斐波那契数列是指每个数都是前两个数之和的数列，其中第 0 项为 0，第 1 项为 1，第 n 项为 f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 2)。

在实际编程中，我们有时需要查找斐波那契数列中的某个数，而斐波那契数列是以指数级增长的速度增加的，因此，我们需要快速的方法来查找斐波那契数列中的第 N 个数。

快速加倍方法

一般而言，我们可以通过递归或动态规划的方式来查找斐波那契数列中的第 N 个数，但是这样的计算复杂度较高，不能满足一些实时性要求较高的场景。

快速加倍方法是一种有效的求解斐波那契数列中第 N 个数的方法，其基本思想是利用矩阵快速幂的算法，通过对斐波那契数列的一个矩阵表达式进行快速幂运算得出第 N 个数。

代码片段如下：

def fibonacci(n):
    if n < 0:
        raise ValueError("Invalid input")
    if n < 2:
        return n
    a, b = 0, 1
    for i in range(n - 1):
        a, b = b, a + b
    return b

这里的 fibonacci(n) 函数采用了常规的循环方式，每次计算出斐波那契数列中的第 N 个数。其时间复杂度为 O(n)。

而如果采用快速加倍方法来实现求解函数，则代码将变为：

def fibonacci(n):
    if n < 0:
        raise ValueError("Invalid input")
    if n < 2:
        return n
    matrix = [[1, 1], [1, 0]]
    result = matrixPower(matrix, n - 2)
    return result[0][0] + result[1][0]

def matrixMultiply(a, b):
    c = [[0, 0], [0, 0]]
    for i in range(2):
        for j in range(2):
            for k in range(2):
                c[i][j] += a[i][k] * b[k][j]
    return c

def matrixPower(matrix, n):
    result = [[1, 0], [0, 1]]
    while n:
        if n % 2 == 1:
            result = matrixMultiply(result, matrix)
        matrix = matrixMultiply(matrix, matrix)
        n //= 2
    return result

快速加倍方法将斐波那契数列的前两个数应该为 0 和 1 分别表示为矩阵 [[1, 1], [1, 0]]，然后通过对矩阵进行幂运算的方式，快速地计算出斐波那契数列中的第 N 个数，其时间复杂度为 O(logn)。