门 | GATE-CS-2007 |问题 23

问题描述

有一个布尔函数 $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$，它可以表示为一个在 $n$ 个布尔变量的域上的布尔表达式，其中每个变量都只出现一次。对于 $f$ 的两个输入 $a$ 和 $b$，$f(a)$ 和 $f(b)$ 可以在一个门电路中计算。

证明：门电路可以计算任意组 $n$ 个变量的布尔函数。

思路分析

由于 $f$ 中每个变量只出现一次，那么一个门电路中只需要将这些变量的值进行计算并最终输出结果即可。

考虑到一个门电路的基本组成单元是与门、或门和非门，我们可以将 $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 展开为一系列基本的布尔函数作为中间计算结果，再利用与门、或门和非门进行组合计算。

具体地，我们可以利用门电路将 $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 展开成一系列基本布尔函数：

• $x_i$（即 $x_i$ 的取值）
• $\neg x_i$（即 $x_i$ 的取反值）
• $x_i \land x_j$（即 $x_i$ 与 $x_j$ 取“与”的值）
• $x_i \lor x_j$（即 $x_i$ 与 $x_j$ 取“或”的值）

然后，使用与门、或门和非门进行组合计算，得到最终的输出结果。

代码片段

1. 将布尔函数 f(x1, x2, ..., xn) 展开为一系列基本的布尔函数；
2. 利用与门、或门和非门进行组合计算。

其中，与门、或门和非门的组合方式可以根据具体的布尔函数进行调整。