给定数字的 Spt函数或最小部分函数

在数学和计算机科学领域，Spt函数或最小部分函数被广泛用于整数论和算法设计。它是一个表示一个正整数n的最小的k，使得n可以被表示成k个完全平方数的和的函数。

算法描述

给定一个正整数n，Spt函数表示为Spt(n)，其定义如下：

• 如果n是一个完全平方数，则Spt(n)等于1。
• 如果n不是完全平方数，那么Spt(n)等于k + Spt(n - k)的最小值，其中k满足k是一个完全平方数且k小于n。

算法实现

可以使用递归算法来实现Spt函数。该算法将正整数n分解成k和n-k，其中k是一个完全平方数，并继续分解n-k，直到n分解成所有完全平方数的和。

function spt(n) {
  // 如果n是一个完全平方数，则Spt(n)等于1
  if (Math.sqrt(n) % 1 === 0) {
    return 1;
  }
  let min = Infinity;
  // 遍历所有小于n的完全平方数，找到Spt(n)的最小值
  for (let i = 1; i * i <= n; i++) {
    let k = i * i;
    let current = spt(n - k) + 1;
    if (current < min) {
      min = current;
    }
  }
  return min;
}

算法分析

Spt函数的时间复杂度是O(n√n)，其中n是要分解的正整数。这是因为该算法需要遍历所有小于n的完全平方数，并且每次遍历需要递归地调用函数spt(n - k)。

代码演示

可以使用以下示例代码验证Spt函数的正确性：

console.log(spt(12)); // 3
console.log(spt(13)); // 2
console.log(spt(19)); // 3
console.log(spt(20)); // 2

上述代码输出的结果分别为3, 2, 3和2，这表明Spt函数可以正确地计算一个正整数的最小部分函数。