将 N 位素数转换为另一个素数

题目描述

给定一个 N 位素数，要求通过在每一步中替换一个数字，将其转换为另一个素数。求最小的步骤数。

算法解析

首先，我们可以使用暴力枚举的方法找到所有的 N 位素数。然后，对于给定的素数，我们可以使用广度优先搜索（BFS）来查找所有能够通过一次数字替换得到的素数。然后再对这些素数递归进行 BFS，直到找到目标素数为止。

为了避免重复计算，可以使用字典来存储中间计算结果。

时间复杂度

枚举所有 N 位素数的时间复杂度为 O(10^N)，BFS 的时间复杂度为 O(B^d)，其中 B 表示每个数字的可选值范围（0-9），d 表示从初始数到目标数的最小步骤数。因此总的时间复杂度为 O(10^N * B^d)。

代码实现

def is_prime(n):
    """判断是否为素数"""
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(n**0.5)+1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True
    
def find_primes(n):
    """寻找 N 位素数"""
    res = []
    for i in range(10**(n-1), 10**n):
        if is_prime(i):
            res.append(str(i))
    return res

def bfs(start, end, primes):
    """广度优先搜索"""
    queue = [(start, 0)]
    visited = {start}
    while queue:
        cur, steps = queue.pop(0)
        if cur == end:
            return steps
        for i in range(len(cur)):
            for j in range(10):
                if j == int(cur[i]):
                    continue
                tmp = cur[:i] + str(j) + cur[i+1:]
                if tmp in primes and tmp not in visited:
                    visited.add(tmp)
                    queue.append((tmp, steps+1))
    return -1

def find_min_steps(s1, s2):
    """寻找最小步骤数"""
    n = len(s1)
    primes = set(find_primes(n))
    return bfs(s1, s2, primes)

print(find_min_steps('113', '199'))

总结

本题需要使用到素数的知识，同时还需要熟悉 BFS 的算法思想。在实现过程中，需要注意优化算法效率，避免重复计算。