每个数组元素的数组中最近的素数

本文将介绍如何编写一个程序，在给定的数组中，找出每个元素所在数组中最近的素数。

算法实现

思路

我们可以遍历数组，对于每个元素，找出它所在数组中最近的素数。为了判断一个数是不是素数，在实现中可以使用一个函数来判断一个数是否为素数。具体实现可以有以下两种思路：

1. 对于每个数都从其左右两侧分别开始向外扩展，直到找到第一个素数。这种方法需要在每个元素处进行重复的素数判断，时间复杂度较高。

2. 使用埃拉托色尼筛法，在遍历数组时将素数缓存起来，直接判断当前元素距离哪个缓存的素数更近。这种方法需要较多的额外空间来存储素数，但是可以大大降低时间复杂度。

代码实现

以下是使用第二种思路实现的伪代码：

# 定义素数缓存，初始化为[2]，表示已经发现的最小素数。
primes = [2]

# 判断一个数是否为素数
def is_prime(num):
    # 如果素数缓存已经包含该数，则该数一定是素数
    if num in primes:
        return True
    # 如果素数缓存最后的数已经大于该数，该数一定不是素数
    if primes[-1] > num:
        return False
    # 如果素数缓存最后的数小于该数，则执行筛法，将素数缓存扩充到包含该数
    for i in range(primes[-1]+1, num+1):
        if all(i % p != 0 for p in primes):
            primes.append(i)
    # 判断该数是否是素数
    return num in primes

# 找到一个元素所在数组中最近的素数
def find_nearest_prime(arr, index):
    left_index = index - 1
    right_index = index + 1
    while left_index >= 0 or right_index < len(arr):
        if left_index >= 0 and is_prime(arr[left_index]):
            return arr[left_index]
        if right_index < len(arr) and is_prime(arr[right_index]):
            return arr[right_index]
        left_index -= 1
        right_index += 1
    # 如果数组中没有素数，则返回 None
    return None

# 对给定数组中的每个元素，找到所在数组中的最近素数
def find_nearest_primes(arr):
    return [find_nearest_prime(arr, i) for i in range(len(arr))]

性能分析

基于第二种思路的算法实现，在每个需要判断素数的位置都需要查找素数缓存，时间复杂度为 $O(n\log n)$，其中 $n$ 为数组长度。由于算法中使用了一个素数缓存，空间复杂度为 $O(n)$。

结论

本文介绍了如何编写一个程序，在给定的数组中，找出每个元素所在数组中最近的素数。实现时，可以使用埃拉托色尼筛法，地平时间复杂度为 $O(n\log n)$，空间复杂度为 $O(n)$。