📅 最后修改于: 2023-12-03 14:49:02.492000 🧑 作者: Mango
二进制索引树，也称为树状数组，是一种用于支持快速范围查询（Range Query）和单点更新（Point Update）的数据结构。它常常用于解决各种算法竞赛中的问题，比如求逆序对、区间和等。
二进制索引树是一个数组，它的下标从1开始，数组中的每个元素代表一段区间内元素的和。这里以求区间和为例，假设我们有一个长度为N的数组arr，其下标从1到N，二进制索引树的定义如下：
int bit[N]; // bit[i]表示arr[1]到arr[i]的区间和
为了更好地理解二进制索引树的实现，我们先介绍两个概念：前缀和（Prefix Sum）和差分（Difference）。
前缀和是指数组中每个元素前面所有元素的和，我们用S[i]表示前缀和，则：
S[i] = arr[1] + arr[2] + ... + arr[i]
对于一个区间[L,R]的和，我们可以用前缀和数组S求得：
sum[L,R] = S[R] - S[L-1]
将上式变形得到：
S[R] = sum[1,R] = arr[1] + arr[2] + ... + arr[R]
S[L-1] = sum[1,L-1] = arr[1] + arr[2] + ... + arr[L-1]
sum[L,R] = S[R] - S[L-1] = arr[1] + arr[2] + ... + arr[R] - arr[1] - arr[2] - ... - arr[L-1] = arr[L] + arr[L+1] + ... + arr[R]
所以，我们可以先求出前缀和数组S，然后根据S计算任意区间的和。
差分是前缀和的逆运算，它将一个数组变形为另一个数组，使得后者的前缀和等于前者的差分。
假设我们有一个长度为N的数组arr，其下标从1到N，那么差分数组d[i]的定义如下：
d[i] = arr[i] - arr[i-1], (i>1)
d[1] = arr[1]
我们可以通过差分数组d求得原数组arr的前缀和数组S：
S[0] = 0;
for (int i = 1; i <= N; i++) {
S[i] = S[i-1] + d[i];
}
二进制索引树支持单点更新操作，也就是将原数组中的一个元素改变后，重新计算前缀和数组S。为了方便起见，我们假设要更新的元素下标为i，且将元素增加了v。
我们可以通过以下代码实现单点更新：
void update(int i, int v) {
while (i <= N) {
bit[i] += v;
i += i & -i;
}
}
update函数采用了循环方式，每次将当前位置的值增加v，然后将i向前移动i的二进制表示中最后一个非零位。为了更好地理解这段代码，我们需要了解以下两个概念：
以i = 6为例，i的二进制为110，二进制中最后一个非零位是2，所以i & -i的值为2。如果i的二进制中没有非零位，那么i & -i的值为1（即i = 0时）。
在update函数中，我们依次更新bit[i]，bit[i + (i&-i)]，bit[i + (i&-i)*2]，直到i+N。假设i的二进制表示为b1b2b3...bn，那么做完最后一次更新后，i会变成i + 2^(n-1)。
例如，在i = 6时，我们需要更新bit[6]、bit[8]和bit[16]，得到：
update(6, 3); // 将bit[6]加3
update(8, 3); // 将bit[8]加3
update(16, 3); // 将bit[16]加3
二进制索引树支持范围查询操作，也就是查询一个区间[L,R]的和。我们可以通过以下代码实现范围查询：
int query(int i) {
int res = 0;
while (i > 0) {
res += bit[i];
i -= i & -i;
}
return res;
}
query函数采用了循环方式，每次将当前位置的值累加到res中，然后将i向前移动i的二进制表示中最后一个非零位。最后返回res即为[L,R]的和。
例如，在i = 8时，我们需要查询[1,8]的和，得到：
int sum = query(8); // sum的值为bit[1]+bit[4]+bit[8]
除了单点更新，二进制索引树还支持范围更新操作，也就是将一个区间[L,R]的所有元素加上v。我们可以利用差分数组实现范围更新，在差分数组d中，我们将[d[L],d[R+1])的元素都增加v，然后重新计算前缀和数组S。具体来说，我们可以通过以下代码实现范围更新：
void update_range(int L, int R, int v) {
update(L, v);
update(R + 1, -v);
}
update_range函数实际上是通过单点更新来实现范围更新的。首先将L处的元素加上v，然后将R+1处的元素减去v，这样d[L]会增加v，d[R+1]会减少v。最后，我们可以通过前缀和数组S求得更新后的原数组，例如：
update_range(2, 4, 2); // 将arr[2]、arr[3]、arr[4]分别加2
在二进制索引树中，update操作和query操作的时间复杂度均为O(logN)，其中N为数组长度。因此，二进制索引树在处理区间查询以及单点修改时表现出很好的效率，它比线段树更加简单，且实现容易，是一种优秀的数据结构。
本文介绍了二进制索引树及其常见应用，包括单点修改、范围修改和区间查询等。通过本文的学习，相信大家已经对二进制索引树有了更深入的了解，希望本文能对大家学习和使用二进制索引树提供一些帮助。