在给定约束的矩阵中找到最长路径

简介

在给定一个由正整数构成的矩阵和一些限制条件（如从某个点出发只能向上下左右四个方向移动、不能重复经过某一个位置等），我们需要在矩阵中找到一条由相邻元素组成的路径，使得路径上的元素之和最大。

解题思路

这是一个典型的动态规划问题，我们可以把问题分解成小问题，逐步求解。类似于最长递增子序列问题，我们可以将每个元素看作一个节点，将节点之间的关系表示成有向边（对于限制条件，我们需要判断每个节点的邻居是否合法）。然后，我们可以从一个起点开始遍历整个图，计算出到每个节点的最长路径，并选取最大值即可。

具体实现方案及时间复杂度取决于限制条件、矩阵大小，下面是一个示例代码片段。

def find_longest_path(matrix):
    rows, cols = len(matrix), len(matrix[0])
    longest_paths = [[0] * cols for _ in range(rows)]
    max_path_len = 0
    
    # 从每个点开始遍历
    for i in range(rows):
        for j in range(cols):
            max_path_len = max(max_path_len, dfs(matrix, i, j, longest_paths))
    
    return max_path_len

def dfs(matrix, i, j, longest_paths):
    if longest_paths[i][j] != 0:
        return longest_paths[i][j]
    
    max_path_len = 1
    for x, y in ((i-1, j), (i+1, j), (i, j-1), (i, j+1)):
        if 0 <= x < len(matrix) and 0 <= y < len(matrix[0]) and matrix[x][y] > matrix[i][j]:
            max_path_len = max(max_path_len, 1 + dfs(matrix, x, y, longest_paths))
            
    longest_paths[i][j] = max_path_len
    return max_path_len

时间复杂度

时间复杂度在不同的限制条件下会有所不同，但基本上都是 $O(n^2)$ 的。在最差情况下，我们需要遍历整个矩阵，并计算每个节点的最长路径，因此时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 为矩阵的大小。空间复杂度也为 $O(n^2)$，因为我们需要一个二维数组来保存每个节点的最长路径。