页面排名算法 Page Rank 和 Python 实现

简介

"页面排名算法"（Page Rank）是由世界著名搜索引擎 Google 公司于 1998 年首次提出，是 Google 搜索引擎最早采用的一种网页排名算法。当时，谷歌的创始人 Larry Page 和 Sergey Brin 将该算法用于自己创办的搜索引擎——Google Search 中。Page Rank 算法被广泛应用于互联网各领域，被誉为是目前最经典的搜索引擎排名算法之一。

Page Rank 通过对网页之间链接的分析和比较，计算出每个网页的权重，进而实现对网页自然排名的排序。它基于网络图论中的 "随机游走" 等理论，可以将所有网页用一个数值来表示其对于整个网站的重要性，一般而言，被其他网页链接数越多的网页，其 Page Rank 值就越高。

Python 作为一门非常受欢迎的编程语言，拥有非常丰富的开发库和工具。本文将利用 Python 实现 Page Rank 算法，并以简单的示例为介绍对象。

算法实现

我们可以先利用网络图（Graph）来表示网页之间的链接关系。这里采用 Python 中的 networkx 库来实现。为了简化示例，我们假设一个网站仅包含 4 个页面（A、B、C、D）和 7 条不同的链接，其中某些页面存在多个链接。我们假设初始的时候，每个页面的 Page Rank 值均为 1。

import networkx as nx

# 构建一个有向图
G = nx.DiGraph()

# 添加每个页面的对应节点
for page in ['A', 'B', 'C', 'D']:
    G.add_node(page)

# 添加页面之间的链接关系
G.add_edges_from([('A', 'B'), ('B', 'C'), ('C', 'D'), ('D', 'A'), ('B', 'D'), ('D', 'B'), ('C', 'A')])

# 打印邻接矩阵
adj_matrix = nx.to_numpy_matrix(G)
print("邻接矩阵：\n", adj_matrix)

如上代码所示，首先导入 networkx 库，然后利用 DiGraph() 函数构建一个有向图。接着添加每个页面的对应节点，并使用 add_edges_from() 函数添加相应的链接关系。这里注意页面 A 和 D 之间是相互链接的。最后，我们将网站的邻接矩阵打印出来，以便于之后进行 Page Rank 计算。

接下来，我们采用 Page Rank 算法计算各个页面的 Page Rank 值。Page Rank 的迭代公式为：

$$ PR(p) = \frac{1-d}{N} + d\sum_{i\in M(p)}\frac{PR(i)}{L(i)} $$

其中：

• $PR(p)$：表示页面 p 的 Page Rank 值；
• $d$：衰减因子，一般取值为 0.85；
• $N$：表示网站中所有页面的数量；
• $M(p)$：表示链接到页面 p 的所有页面的集合；
• $L(i)$：表示页面 i 的出链接数。

具体实现代码如下：

import numpy as np

# 定义迭代函数
def pagerank(G, alpha=0.85, max_iter=100, eps=1.0e-6):
    n = len(G.nodes)
    A = nx.to_numpy_matrix(G)
    A = A / A.sum(axis=1)

    PR = np.ones(n) / n
    for i in range(max_iter):
        PR_new = (1 - alpha) / n + alpha * PR @ A
        if np.linalg.norm(PR_new - PR) < eps:
            break
        PR = PR_new
    return PR

# 计算 Page Rank 值
PR = pagerank(G)
print("Page Rank 值：\n", PR)

如上代码所示，我们首先定义了 pagerank() 函数，将图形的邻接矩阵 A 转换成概率矩阵 $P$，然后根据 Page Rank 的迭代公式计算各个页面的 Page Rank 值。其中，我们使用矩阵乘法来计算 $\mathbf{PR} \cdot \mathbf{A}$，将各个页面之间的关系体现出来。最后，将计算出的 Page Rank 值打印出来。

总结

本文介绍了 Page Rank 算法及其 Python 实现方法，通过构建网络图和迭代计算 $PR$ 值，可以很好地描述各个页面之间的关联关系，实现对网站页面自然排名的排序。