由两个给定数组生成的递推关系的第N项

在编程过程中，有时候需要求得由两个给定数组生成的递推关系的第 N 项。这个问题看似简单，实际上要考虑许多细节。

问题描述

已知两个有序数组 A 和 B，长度分别为 m 和 n。现在定义如下递推关系：

• A[0] * B[0] 的值为第 0 项
• 第 i 项的值为第 i - 1 项加上一个 A 中比当前项小且 B 中比当前项大的元素之和。

请实现一个函数，输入 A、B 和 N，返回由两个给定数组生成的递推关系的第 N 项。

解决方案

朴素解法

朴素的思路是，根据题意模拟计算递推关系的每一项。具体实现如下：

def solve(A, B, N):
    dp = [0] * (N + 1)
    dp[0] = A[0] * B[0]
    for i in range(1, N):
        s = 0
        for j in range(len(A)):
            if A[j] >= dp[i - 1]:
                break
            for k in range(len(B)):
                if B[k] <= dp[i - 1]:
                    continue
                if A[j] * B[k] <= dp[i - 1]:
                    continue
                s += A[j] * B[k]
        dp[i] = dp[i - 1] + s
    return dp[N - 1]

该算法的时间复杂度为 $O(Nmn)$，若其输入数据的范围较大，运行时间将非常长。

优化解法

根据观察题目，我们可以得到以下性质：

• 递推式只依赖于前一项的值，在计算时不需要再去遍历整个 A、B 数组了。
• 对于 B 数组中的每个元素，我们只需要找出比当前项大的最小元素即可，可以使用二分查找实现。

根据以上性质，我们可以得到以下算法：

def solve(A, B, N):
    def get_sum(val):
        s = 0
        for i in range(len(A)):
            if A[i] >= val:
                break
            s += A[i] * (bisect_right(B, val) - bisect_left(B, A[i]))
        return s
    
    l, r = A[0] * B[0], A[-1] * B[-1]
    while l < r:
        mid = (l + r + 1) // 2
        if sum(get_sum(mid) for mid in range(A[0], A[-1] + 1)) < N:
            l = mid
        else:
            r = mid - 1
    return l

时间复杂度为 $O((m+n)\log\max{A,B})$，对于较大的数据范围，效果非常显著。

总结

由两个给定数组生成的递推关系的第 N 项看似简单，但实现时需要注意细节。通过二分查找等方法进行优化，可以大大提高算法效率。