从给定的一组 N 个点中平行于坐标轴的正方形计数

在计算机科学领域，常常需要从一组给定的数据中，计算出含有特定属性的数据的数量。本文将讨论如何从给定的一组 N 个点中计数所有平行于坐标轴的正方形。

为了方便，我们可以将给定的 N 个点以 x 坐标进行排序，这样就可以快速地判断它们是否在同一条竖直线上。同时，我们还可以将每个点的坐标改为相对坐标，使得最小的 x 坐标为 0。这样做之后，我们只需要考虑同一条竖直线上的点，即它们的 x 坐标相同。假设在同一条竖直线上的点的 y 坐标为 y[0], y[1], ..., y[m-1]，那么我们可以将它们递增排序。

现在，我们可以考虑从这些点中计数所有平行于坐标轴的正方形。具体方法如下：

1. 遍历所有可能的正方形中心点，即 (i, j)，其中 i 和 j 分别是两个点的下标，并且有 i < j。
2. 遍历所有的可能的正方形边长 k，其中有 $2 \leq k \leq y[m-1] - y[0]$。
3. 对于每个正方形中心点和边长，计算出正方形的四个角落的坐标 (i-k/2, j-k/2)，(i+k/2, j+k/2)，(i-k/2, j+k/2) 和 (i+k/2, j-k/2)。
4. 检查每个角落是否是一个给定的点。如果是，则说明这是一个平行于坐标轴的正方形。
5. 统计平行于坐标轴的正方形的数量，并返回结果。

count = 0
for i in range(n):
    for j in range(i+1, n):
        for k in range(2, y[n-1] - y[0] + 1):
            x1, y1 = i - k//2, j - k//2
            x2, y2 = i + k//2, j + k//2
            x3, y3 = i - k//2, j + k//2
            x4, y4 = i + k//2, j - k//2
            if (x1, y1) in points and (x2, y2) in points and 
               (x3, y3) in points and (x4, y4) in points:
                count += 1
return count

时间复杂度：

• 对于排序操作，时间复杂度为 O(N log N)。
• 对于计数操作，时间复杂度为 O(N^3)。 因此，总的时间复杂度为 O(N^3)。

以上是一种朴素的实现方法，实际上还可以使用更高效的算法来解决这个问题，如计数排序。