由有向无环图给出的每项作业完成所需的最短时间

在项目管理中，有向无环图（DAG）——一种由节点（表示事件或活动）和有向边（表示活动之间的优先顺序）组成的有向图——常用于规划和跟踪任务和项目的完成情况。DAG可以帮助我们确定每项作业完成所需的最短时间。

DAG基础

DAG是一种有序的图，它不包含任何循环区域 (如从一个节点出发，依次经过若干节点后，又回到了原节点)。DAG常常被用于表示计算任务、编译任务等。

拓扑排序

通常使用拓扑排序算法，将DAG中的活动排序，从而确定每项作业完成所需的最短时间。拓扑排序是一个由无向无环图（DAG）派生出来的算法。在DAG的情况下，每次都至少存在一个入度为0的节点，并且每次从图中删除一个入度为0的节点，同时还要把与这个节点相连的边全部删除，重新计算剩下节点的入度，直到所有节点都被访问完，或者不存在入度为0的节点为止。为保证得到的排序序列唯一，可以采用反向的拓扑排序方式，即从终点开始排序。

DAG中的最长路径

每项作业完成所需的最短时间可以通过DAG中的最长路径来计算。最长路径是指任意两个节点之间的最长路径。在DAG中，每个节点的最长路径是由其前面的所有节点向该节点的边组成的路径长度最大值（如果前面没有节点，则最长路径为0）。拓扑排序的过程可以在整个图上进行，通过计算每个边的边权来确定最长路径长度。

算法实现

下面是一个示例代码，它展示了如何使用Python实现DAG的拓扑排序和最长路径计算。

import heapq

def topsort(graph):
    in_degree = dict((u, 0) for u in graph)
    for u in graph:
        for v in graph[u]:
            in_degree[v] += 1
    q = [u for u in graph if in_degree[u] == 0]
    result = []
    while q:
        u = heapq.heappop(q)
        result.append(u)
        for v in graph[u]:
            in_degree[v] -= 1
            if in_degree[v] == 0:
                heapq.heappush(q, v)
    return result

def longest_path(graph, start, end):
    dist = {u: float('inf') for u in graph}
    dist[start] = 0
    for u in topsort(graph):
        if u == end:
            break
        for v in graph[u]:
            new_distance = dist[u] + graph[u][v]
            if new_distance < dist[v]:
                dist[v] = new_distance
    return dist[end]

graph = {'A': {'B': 5, 'C': 3},
         'B': {'D': 4},
         'C': {'D': 4, 'E': 6},
         'D': {'F': 4},
         'E': {'F': 2},
         'F': {}}

start = 'A'
end = 'F'

print(f"The shortest time from {start} to {end} is {longest_path(graph, start, end)}.")

在这个示例代码中，我们定义了一个DAG的示例图，其中每个节点表示一项作业。其中，AB和AC表示两项并行的作业。也就是说，如果A要完成，B和C需要同时开始。BD和CE表示两个依赖的项目，也就是说，如果B完成，D才会完成，如果C完成，E才会完成。DF和EF表示两个并行项目，也就是说，D和E需要同时完成才能进行F，而F是最后一个项目。

我们使用topsort函数来遍历示例DAG并计算拓扑序列。然后，使用longest_path函数来计算DAG中的最长路径，即A到F的最短时间。结果是F的最短时间为13。

总结

有向无环图提供了一种灵活、直观的方式来描述任务和项目之间的关系，并帮助管理者和程序员计算任务和项目完成所需的最短时间。通过使用拓扑排序算法，我们可以对DAG进行排序，计算出每项作业完成所需的最短时间。同时，我们也可以通过计算DAG中的最长路径来确定任务完成的最长时间。