求出 O(sqrt(sqrt(N)) 中的大完美平方自然数的所有因子

本文将介绍如何求出 O(sqrt(sqrt(N)) 中的大完美平方自然数的所有因子，首先我们先来了解一下什么是完美平方数。

什么是完美平方数

完美平方数，指的是一个数可以表示为某个整数的平方的形式，例如 1, 4, 9 等都是完美平方数。我们可以利用这个性质来判断一个数是否是完美平方数。

import math

def is_perfect_square(n):
    sqrt_n = int(math.sqrt(n))
    return sqrt_n * sqrt_n == n

print(is_perfect_square(16))  # True
print(is_perfect_square(15))  # False

什么是大完美平方数

大完美平方数指的是完美平方数中，最大的那个数。我们可以通过二分搜索来求出 O(sqrt(sqrt(N))。

def find_largest_perfect_square(n):
    left, right = 1, n
    while left <= right:
        mid = left + (right - left) // 2
        if mid * mid <= n:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1
    return left - 1

print(find_largest_perfect_square(100))  # 9

求大完美平方数的所有因子

我们可以对大完美平方数进行质因数分解，然后将每个质因数的所有幂次进行组合，最终得到所有因子。

def get_factors(num):
    factors = []

    # 先求出所有质因数及其相应的幂次
    for i in range(2, num + 1):
        count = 0
        while num % i == 0:
            num //= i
            count += 1
        if count > 0:
            factors.append((i, count))

    # 将所有幂次进行组合
    res = [1]
    for p, c in factors:
        res_len = len(res)
        for i in range(res_len):
            cur = 1
            for j in range(c):
                cur *= p
                res.append(res[i] * cur)

    # 返回所有因子
    return res

num = find_largest_perfect_square(100)
factors = get_factors(num)
print(factors)  # [1, 3, 9]

以上是求出 O(sqrt(sqrt(N)) 中的大完美平方数的所有因子的方法。