计算给定字符串的所有子字符串中出现的元音数

本文介绍如何编写一个程序，在给定的字符串中计算出所有子字符串中出现的元音数。

元音字母

在英语中，元音字母共有5个：a、e、i、o 和 u。

解法1：暴力枚举

我们可以使用两层循环来枚举所有子字符串，然后再遍历子字符串中的每个字符，统计元音字母数量。

def count_vowels(s: str) -> int:
    vowels = set(['a', 'e', 'i', 'o', 'u'])  # 将元音字母保存到set中，用于快速判断
    count = 0
    for i in range(len(s)):
        for j in range(i+1, len(s)+1):
            sub_str = s[i:j]  # 获取子字符串
            for c in sub_str:
                if c.lower() in vowels:  # 统计元音字母数量
                    count += 1
    return count

时间复杂度

由于要枚举所有子字符串，时间复杂度为 $O(n^3)$，其中 $n$ 是字符串长度。

空间复杂度

由于要保存元音字母，空间复杂度为 $O(1)$。

解法2：动态规划

我们可以通过动态规划来优化算法，避免重复计算。

我们定义一个数组 $dp_{i,j}$，表示以第 $i$ 个字符开始、以第 $j$ 个字符结尾的子字符串中元音字母的个数。根据这个定义，我们可以得到状态转移方程：

$$dp_{i,j} = dp_{i+1,j-1} + is_vowel(s_i) + is_vowel(s_j)，i < j$$

其中 $is_vowel(c)$ 表示字符 $c$ 是否是元音字母，如果是则返回 1，否则返回 0。

我们可以使用一个变量 $count$ 来记录所有子字符串中出现的元音字母数量。

最终答案就是 $count$。

def count_vowels(s: str) -> int:
    vowels = set(['a', 'e', 'i', 'o', 'u'])
    n = len(s)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    count = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            if i == j:
                dp[i][j] = is_vowel(s[i])
            else:
                dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + is_vowel(s[i]) + is_vowel(s[j])
            count += dp[i][j]
    return count

def is_vowel(c: str) -> int:
    return 1 if c.lower() in vowels else 0

时间复杂度

由于要枚举所有子字符串，时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 是字符串长度。

空间复杂度

需要使用一个二维数组来保存中间结果，因此空间复杂度为 $O(n^2)$。