大量的费马分解法

简介

费马分解法是一种质因数分解的方法，其基本思路是假设N可以表示为两个数的平方差，即$N = a^2 -b^2$，然后通过求出a、b两个数，进而计算出N的质因数分解。

在程序中，大量的费马分解法指的是使用费马分解法去分解多个大数的质因数，通常由于大数比较难分解，会使用多种算法结合，以便更高效地进行质因数分解。

原理

对于一个奇数N，可以将其表示为： $$N = a^2 -b^2 = (a+b)(a-b)$$

其中a+b和a-b是N的因数。通过这样的方式：

1. 取初始值a=INT(√N+1)，b=a-1
2. 计算x=a^2-N，如果x=b^2，表示N不是一个合数，需要重新选择初始值a
3. 如果x>b^2，则b=b+1，继续计算x
4. 如果x<b^2，则a=a+1，继续计算x
5. 如果出现a>b, 则N无法进行分解，本次分解失败

重复以上步骤，直到找出N的质因数分解为止。

代码实现

以下是Python代码实现大量的费马分解法：

import math
from random import randint

def FermatFactorization(n):
    a = int(math.ceil(math.sqrt(n)))
    while True:
        b2 = a*a - n
        b = int(math.sqrt(b2))
        if b*b == b2:
            return a-b, a+b
        else:
            a += 1

def Factor(n, factors):
    while n != 1:
        r = FermatFactorization(n)
        if r[0] == 1:
            factors.append(r[1])
            n = n / r[1]
        else:
            factors.append(r[0])
            n = n / r[0]
    return factors

def LargeFermatFactorization(n):
    factors = []
    while n != 1:
        if is_prime(n):
            factors.append(n)
            break
        r = randint(1, 100)
        n_minus_one = n - 1
        a = pow(r, n_minus_one/2, n)
        if pow(a, 2, n) == 1:
            continue
        gcd_value = math.gcd(int(pow(a, 2, n)) - 1, n)
        if gcd_value == n:
            continue
        factors += Factor(gcd_value, [])
        n = int(n / gcd_value)
    return factors

总结

大量的费马分解法可以用于对多个较大的数进行质因数分解，其原理是使用费马分解法对每个数进行分解，而费马分解法通过判断N是否可以表示为两个数的平方差，进而计算出N的质因数分解。在实际应用中，大量的费马分解法通常需要结合其他算法一起使用，以便更高效地完成质因数分解。