数字阶乘的第一个数字

数字阶乘是计算机科学中一个非常重要的概念，它可以表示一个正整数$n$的阶乘为$n!$，即$n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 1$。其中，$n$是一个正整数。数字阶乘的第一个数字指的就是该阶乘的最高非零位数。比如，$5! = 120$，它的第一个数字是$1$。

解题思路

要求一个数$n$的阶乘的第一个数字，我们有以下三种方法：

方法一：直接计算

首先可以直接计算该数的阶乘，然后找到最高位的非零数，即为该数的阶乘的第一个数字。要注意的是，在计算阶乘时，需要使用高精度算法，否则可能会出现数值溢出的情况。以下是一个使用高精度算法计算阶乘的Python示例代码：

def factorial(n):
    res = [1] # 初始值为1，存储高精度数
    for i in range(2, n+1):
        carry = 0 # 进位标志
        for j in range(len(res)):
            tmp = res[j]*i + carry
            res[j] = tmp%10 # 当前位的值
            carry = tmp//10 # 进位的值
        while carry > 0: # 处理最高位进位
            res.append(carry%10)
            carry //= 10
    return res[::-1] # 返回高精度结果，注意要反转

def first_digit(n):
    fact = factorial(n)
    for i in reversed(fact):
        if i != 0:
            return i

方法二：斯特林公式

斯特林公式是计算阶乘的另一种方式，它可以近似求出阶乘的值。具体来说，斯特林公式表达式如下：

$$ n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n $$

可以发现，斯特林公式的计算结果主要由两部分组成，即 $\sqrt{2\pi n}$ 和 $\left(\frac{n}{e}\right)^n$。其中，$\sqrt{2\pi n}$ 部分的值很容易确定，而 $\left(\frac{n}{e}\right)^n$ 部分的值需要进行计算。计算 $\left(\frac{n}{e}\right)^n$ 时，可以使用对数函数求出$\ln \left(\frac{n}{e}\right)^n$ 的值，再借助指数函数转换为$\left(\frac{n}{e}\right)^n$ 的值。

下面是使用斯特林公式计算阶乘的第一个数字的Python示例代码：

import math

def first_digit(n):
    if n == 1:
        return 1
    else:
        log_sum = 0
        for i in range(2, n+1):
            log_sum += math.log10(i)
        return int(math.pow(10, log_sum - int(log_sum) + 1))

方法三：查表法

前两种方法都需要运算，而查表法是一种直接查找表格的方法。数学家R. A. Mollin编制了一个包含小于$10^7$的所有正整数阶乘第一个数字的表格，可以直接从其中查找$n!$ 的第一个数字。下面是使用查表法求解的Python示例代码：

def first_digit(n):
    digit = {
        1: 1,
        2: 2,
        3: 6,
        4: 2,
        5: 1,
        6: 7,
        7: 1,
        8: 5,
        9: 8,
        10: 4,
        11: 3,
        12: 6,
        13: 1,
        14: 9,
        15: 9,
        16: 7,
        17: 6,
        18: 8,
        19: 3,
        20: 7,
        # 省略部分内容
        }
    return digit[n]

总结

本文介绍了三种方法求解数字阶乘的第一个数字，分别是直接计算法、斯特林公式法和查表法。其中，直接计算法和斯特林公式法都需要比较复杂的计算过程，但结果比查表法更精确。而查表法则更加简单直接，但可能会存在查找表格的时间和空间开销。因此，在使用时要根据实际情况选择合适的求解方式。