将字符串 X 转换为 Y 的最小点击

在本文中，我们将探讨如何编写一个算法，将字符串 X 转换为字符串 Y 的最小点击次数。所谓点击，是指将 X 中的某个字符改成对应位置上的 Y 中的字符。

问题描述

给定两个字符串 X 和 Y，它们的长度均为 N。现在需要将 X 转换为 Y，并且需要最小化将 X 中的某个字符改成对应位置上的 Y 中的字符的点击次数。

解决方案

动态规划

这是一道经典的动态规划问题。假设 dp[i][j] 表示将 X[1...i] 转换为 Y[1...j] 的最小点击次数。在转移的过程中，我们考虑 X[i] 是否需要被改变，分类讨论如下：

1. 如果 X[i] 和 Y[j] 相同，则 dp[i][j] = dp[i-1][j-1]，因为不需要进行任何点击操作；
2. 如果 X[i] 和 Y[j] 不同，则 dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1。其中 dp[i-1][j] 表示在 X[i] 上进行一次删除操作，dp[i][j-1] 表示在 X[i] 上进行一次插入操作，dp[i-1][j-1] 表示在 X[i] 上进行一次替换操作。

最终的答案即为 dp[N][N]。

def min_clicks(x: str, y: str) -> int:
    n = len(x)
    dp = [[0] * (n+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        dp[i][0] = i
        dp[0][i] = i
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, n+1):
            if x[i-1] == y[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-1][j-1]) + 1
    return dp[n][n]

优化

在上述的代码中，我们使用了一个二维数组来保存中间状态。由于每个状态只依赖于前一行的状态，所以可以使用滚动数组的思想，将空间复杂度降到 O(N)。

同时，由于每次只需要访问前一行的状态，所以也可以将原来用来存储 dp 值的二维数组转化为两个一维数组。

def min_clicks_optimized(x: str, y: str) -> int:
    n = len(x)
    dp1, dp2 = [0] * (n+1), [0] * (n+1)
    for i in range(1, n+1):
        dp1[i] = i
    for i in range(1, n+1):
        dp2[0] = i
        for j in range(1, n+1):
            if x[i-1] == y[j-1]:
                dp2[j] = dp1[j-1]
            else:
                dp2[j] = min(dp1[j], dp2[j-1], dp1[j-1]) + 1
        dp1, dp2 = dp2, dp1
    return dp1[n]

总结

本文介绍了如何使用动态规划来解决将字符串 X 转换为字符串 Y 的最小点击次数的问题。在代码实现过程中，我们将空间复杂度从 O(N^2) 优化到了 O(N)。

该问题的时间复杂度和空间复杂度均为 O(N^2)，其中 N 表示字符串 X 和 Y 的长度。