查找子数组 [i, N-1] 中每个索引 i 的最小子数组和

简介

给定一个整数数组，需要查找以每个索引 i 开始的子数组中的最小子数组和。最小子数组指的是具有最小和的连续子数组。例如，数组 [1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5] 在索引 0 处的最小子数组为 [1, -2]，在索引 1 处的最小子数组为 [-2]，在索引 2 处的最小子数组为 [3]，以此类推。

算法思路

我们可以使用动态规划来解决这个问题。具体做法是，我们定义一个辅助数组 minSum，其中的 minSum[i] 表示以索引 i 开始的子数组中的最小子数组和。辅助数组 minSum 的计算公式如下：

minSum[N-1] = nums[N-1]
for i in range(N-2, -1, -1):
    minSum[i] = min(nums[i], nums[i] + minSum[i+1])

其中，nums 是原始数组，N 是数组的长度。这个公式的解释如下：

• 对于 i = N-1，子数组只包含一个元素，即 nums[N-1]，因此最小子数组和就是 nums[N-1]。
• 对于 i < N-1，子数组以 nums[i] 开头，我们需要考虑 i+1 开头的最小子数组和 minSum[i+1]。如果 minSum[i+1] 大于 0，那么 i+1 开头的所有子数组都不可能比 nums[i] 开头的子数组更小，因此最小子数组和为 nums[i]。否则，我们可以将 i+1 开头的最小子数组和 minSum[i+1] 加上 nums[i]，即 minSum[i+1] + nums[i]，得到以 i 开头的最小子数组和。因为 minSum[i+1] 表示以 i+1 开头的子数组中的最小子数组和，所以我们可以保证 minSum[i+1] + nums[i] 是以 i 开头的子数组中的最小子数组和。

算法实现

def find_min_subarray_sum(nums):
    N = len(nums)
    minSum = [0] * N
    minSum[N-1] = nums[N-1]
    for i in range(N-2, -1, -1):
        minSum[i] = min(nums[i], nums[i] + minSum[i+1])
    return minSum

示例

使用上述函数，我们可以得到数组 [1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5] 的每个索引 i 开始的子数组的最小子数组和：

>>> find_min_subarray_sum([1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5])
[ -1,  -2,   3,   7, -12,   2,  -3,  -5]

这说明，在索引 0 处的最小子数组为 [1, -2]，在索引 1 处的最小子数组为 [-2]，在索引 2 处的最小子数组为 [3]，以此类推。