乔治·坎托的第N个有理数集

乔治·坎托的第N个有理数集，也被称为“反锥形数集”，是一种有理数构成的数集。这个数集以其创造者、德国数学家乔治·坎托的名字命名。

定义

坎托的第N个有理数集是一个按照特定方式构造的有理数集合。这个集合包含所有形如 $a/b^n$ 的有理数，其中 $a$ 和 $b$ 都是正整数，且 $b$ 不能整除 $N$。

$$\large C_N = \left{ \frac{a}{b^n} : a,b \in \mathbb{Z_{>0}}, b \nmid N, n\in \mathbb{Z_{\geq0}} \right}$$

例如，坎托的第6个有理数集（$C_6$）包含 $\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{1},\frac{3}{1},\frac{4}{1},\frac{3}{2},\frac{5}{2},\frac{7}{2},\ldots$。

性质

• 坎托的第N个有理数集是无理数的集合的补集。
• 坎托的第N个有理数集是稠密的，即对于任意两个有理数 $x$ 和 $y$，总存在坎托的第N个有理数 $z$，使得 $x<z<y$。
• 坎托的第N个有理数集中没有相邻的数。
• 坎托的第N个有理数集具有可重性，即对于任意正整数 $k$，坎托的第 $Nk$ 个有理数集中的每一个元素都是坎托的第N个有理数集中的元素的 $k$ 倍。
• 坎托的第N个有理数集中元素的个数无穷且可数。

应用

坎托的第N个有理数集在数论和电子工程中具有很多应用。例如，它可以用于创建高效率的分数阻抗网络，而这种网络在电子滤波器和无源网络中都有广泛的应用。

参考文献

• Wolfram MathWorld: Calkin-Wilf Tree
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences: A027424