程序员介绍：素数和在 [1, N] 范围内的无序半素数对的计数

简介

本篇介绍的主题是如何计算素数和在 [1, N] 范围内的无序半素数对的数量。在介绍具体实现方法之前，先解释一下什么是素数和和半素数。

• 素数和是指由若干个素数组成的和。
• 半素数是指恰好有两个素数因子的正整数。

具体来讲，对于一个正整数 $n$，如果它可以被表示为 $p+q$ （$p$ 和 $q$ 都是素数）的形式，那么它就是一个半素数。

实现方法

那么如何计算素数和在 [1, N] 范围内的无序半素数对的数量呢？我们可以选用以下方法：

1. 枚举所有半素数；
2. 判断半素数是否在指定范围内；
3. 统计计数。

枚举半素数

要枚举半素数，我们可以利用以下两个结论：

1. 任何一个偶数都可以表示为两个质数的和，因此不存在偶数的半素数, 可以削减一部分数据枚举；
2. 对于奇数 $n$，如果我们能够找到两个素数 $p$ 和 $q$，使得 $pq\leqslant n$，那么 $n=p+q$ 就可以表示为两个质数之和。因此，我们只需要枚举小于 $\sqrt{n}$ 的所有素数，并找到最大的素数 $p$，然后再枚举小于等于 $n-p$ 的素数 $q$ 即可。

判断是否在指定范围内并计数

对于枚举出来的半素数，我们需要判断它是否在指定的范围内。如果是，就计数加一。

具体来说，假设指定的范围是 [L, R]，那么我们只需要检查半素数是否大于等于 L 并且小于等于 R 即可。

代码实现

下面是使用 Python 实现的示例代码：

def is_prime(n):
    if n <= 1:
        return False
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

def count_semiprimes(L, R):
    primes = [i for i in range(2, R + 1) if is_prime(i)]
    count = 0
    for i in range(len(primes)):
        p = primes[i]
        for j in range(i, len(primes)):
            q = primes[j]
            if p * q > R:
                break
            if L <= p + q <= R:
                count += 1
    return count

总结

本篇介绍了如何计算素数和在 [1, N] 范围内的无序半素数对的数量，通过枚举半素数并检查是否满足条件来实现。虽然这个算法的时间复杂度并不是很优秀（$O(n \log \log n)$），但在实际应用中已经足够快速和准确地解决问题了。