在矩阵中捕获雨水

介绍

在矩阵中捕获雨水是一道经典的算法题目，主要考察算法设计和实现能力。

题目描述：

给定一个m x n的矩阵，矩阵中的数字代表矩阵的高度。假设每一个数字的宽度和高度都为1，并且整个矩阵的左右两侧和上下两侧都被视为墙壁，无法接水。现在，当下雨天来临时，整个矩阵能够容纳多少雨水呢？

例如，给定下面的3x3矩阵：

[
  [1, 4, 3],
  [2, 3, 1],
  [3, 2, 1]
]

我们可以将矩阵可容纳的雨水放在右下角，如下所示：

[
  [1, 4, 3],
  [2, 3, 1],
  [3, 2, 1]
]

这个过程中，我们先找到矩阵中的最大值，也就是4，然后分别从左边、右边、上边和下边开始往中心逼近，途中如果遇到比当前高度低的位置就可以接住雨水，直到最后到达矩阵的中央位置。

在本题目中，我们将通过多种算法解决这个问题。

算法一：暴力法

首先，我们可以使用暴力法解决这个问题。具体来说，我们遍历矩阵中的每一个位置，然后对每一个位置进行以下操作：

• 找出该位置左边最高的高度：

  遍历该位置左边的所有位置，找出高度最高的位置。

• 找出该位置右边最高的高度：

  遍历该位置右边的所有位置，找出高度最高的位置。

• 找出该位置上方最高的高度：

  遍历该位置上方的所有位置，找出高度最高的位置。

• 找出该位置下方最高的高度：

  遍历该位置下方的所有位置，找出高度最高的位置。

• 计算该位置可以容纳的雨水量：

  如果该位置四面的最高高度都比该位置的高度要高，那么该位置就可以容纳雨水，容纳的雨水量为四面最高高度中最矮的高度减去该位置的高度，也就是：

  min(left_max, right_max, up_max, down_max) - height

之后，我们将所有位置可以容纳的雨水容量加起来，即可得到整个矩阵可以容纳的雨水量。

该算法的时间复杂度为O(mn^2)，空间复杂度为O(1)，不过由于遍历了多次，该算法的时间复杂度较大，不太适合大规模使用。

算法二：双指针法

由于暴力法的时间复杂度较高，我们可以考虑使用优化的算法来解决这个问题。具体来说，我们可以使用双指针法。

我们首先可以找到该矩阵中的最高点，然后从最左端和最右端开始往中心逼近，遇到比当前高度矮的位置就接住雨水，直到最后到达矩阵的中央位置。

具体来说，我们可以定义两个指针left和right来作为左右两端的标志，同时维护两个变量left_max和right_max，分别表示左边的最大值和右边的最大值。然后，我们可以使用一个while循环，从左端点开始往右移动，如果当前位置的高度小于等于left_max，那么该位置可以容纳雨水，容纳的雨水量为left_max减去该位置的高度。然后我们将left指针右移一位，并将left_max更新为左边所有位置的最大值和left指针当前指向位置的高度中的较大值。同样的，我们也可以从右端点开始往左移动，对每一个位置进行以上操作。

该算法的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)，非常适合实现。

算法三：动态规划

除此之外，我们也可以使用动态规划来解决这个问题。具体来说，动态规划的核心思想是将大问题拆分成小问题并进行逐一求解，最后将小问题的解合并为大问题的解。

我们可以使用两个数组left_max和right_max，分别表示每一列左边最高的数字和右边最高的数字，然后使用一个二维数组dp，表示每个位置可以容纳的雨水量。我们可以首先遍历矩阵的第一列和最后一列，并计算每个位置可以容纳的雨水量。然后我们再从第二列开始，对剩下的位置进行计算。

具体来说，对于每一个位置，我们可以先找出该位置左边和上边的最高高度，然后取这两者中的较小值（假设为height），再找出该位置右边和下边的最高高度，取这两者中的较小值（假设为width），那么该位置可以容纳的雨水量为min(height, width)-该位置本身的高度。我们将这个雨水容量存储到dp数组中。

最后，我们遍历整个dp数组，将其中所有位置的雨水容量加起来，即可得到整个矩阵可以容纳的雨水量。

该算法的时间复杂度为O(mn)，空间复杂度为O(n)，相对于暴力法有了较大的优化。

总结

在本文中，我们介绍了三种算法来解决矩阵中捕获雨水的问题。不同的算法有各自的优点和缺陷，我们需要根据具体的需求选择合适的算法来进行实现。