求两个字符串的最长公共子串长度

在文本处理中，我们经常需要比较两个字符串的相似性。其中，求两个字符串的最长公共子串长度是一个常见的问题。本文将介绍两种实现方式：暴力枚举和动态规划。

暴力枚举

最朴素的做法就是枚举所有的可能子串，再逐一比较它们是否相同，这种做法的时间复杂度为 $O(n^3)$。实现的代码如下：

def brute_force(s1: str, s2: str) -> int:
    ans = 0
    for i in range(len(s1)):
        for j in range(i, len(s1)):
            if s1[i:j+1] in s2:
                ans = max(ans, j-i+1)
    return ans

该算法思路简单，但是在实际应用中效率很低。当字符串长度较长时，时间复杂度将很高。

动态规划

动态规划是一种常见的求解最长公共子串问题的算法。我们定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示以 s1 的第 i 个字符为结尾，以 s2 的第 j 个字符为结尾的公共子串长度。那么，我们需要求的就是 dp 中最大的值。我们可以通过以下递推式来更新 dp 数组：

if s1[i-1] == s2[j-1]:
    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
else:
    dp[i][j] = 0

其中，当 s1[i-1] 等于 s2[j-1] 时，说明 s1 和 s2 在第 i 个字符和第 j 个字符上相同，因此，dp[i][j] 等于它们分别以前一个字符为结尾时的最长公共子串长度再加上 1。否则，如果它们在第 i 个字符和第 j 个字符上不相同，那么最长公共子串就中断了，此时 dp[i][j] 应该为 0。最后，我们可以遍历整个 dp 数组，找出其中最大值。

下面是动态规划的实现代码：

def dynamic_programming(s1: str, s2: str) -> int:
    m, n = len(s1), len(s2)
    dp = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]
    ans = 0
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            if s1[i-1] == s2[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
                ans = max(ans, dp[i][j])
    return ans

该算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，相较于暴力枚举算法，让我们在处理大规模问题时效率有显著提升。

总结

本文介绍了求两个字符串的最长公共子串长度的两种算法：暴力枚举和动态规划。两种算法均可用于处理大规模问题，但是动态规划算法的效率更高。我们可以根据实际问题的规模选择适合的算法。