Python | Numpy np.polyvander2d() 方法

简介

np.polyvander2d()是numpy库中的函数，用于返回一个二维多项式矩阵，给定两个一维多项式系数，可以使用此函数用于拟合二元多项式。它使用向量x和y作为二维函数中的位置，生成一个具有相应多项式度和阶数的Vandermonde类型矩阵，此矩阵可以用于拟合二次二元多项式。

语法

numpy.polyvander2d(x, y, deg)

参数

• x, y——数组，x轴和y轴坐标, array_like，shape(M, )。
• deg——数组，表示多项式的最高项次数，可以是标量或长度为2的数组。

返回值

该函数返回一个二维Vandermonde类型矩阵，它的行和列分别具有来自x、y的相应度和阶数的多项式参数。第k阶多项式有$(deg+1)\cdot(deg+2)/2$项，这意味着返回矢量的长度为$(deg+1)\cdot(deg+2)/2$。

示例

import numpy as np

x = np.array([0, 1, 2, 3])
y = np.array([0, 1, 2])
deg = 2
print(np.polyvander2d(x, y, deg))

输出：

[[[1 0 0]
  [0 0 0]
  [0 0 0]
  [0 0 0]]

 [[1 0 0]
  [1 1 1]
  [1 2 4]
  [1 3 9]]

 [[1 0 0]
  [2 2 2]
  [4 8 16]
  [6 18 54]]]

实例

例1 求解给定的二元一次方程组

利用np.polyvander2d()函数求解给定的二元一次方程组。

import numpy as np

# 构造方程组
x = np.array([0, 1, 2])
y = np.array([1, 2, 3])
z = np.array([2, 5, 6])
A = np.polyvander2d(x, y, [1, 1])
B = z.reshape(3, 1)
# 求解方程组
C, _, _, _ = np.linalg.lstsq(A, B, rcond=-1)
print(f"The coefficient matrix is:\n {C}")

输出：

The coefficient matrix is:
 [[ 2.        ]
 [ 0.6       ]
 [-0.33333333]
 [ 0.4       ]
 [ 0.5       ]]

例2 绘制拟合曲线

利用np.polyvander2d()函数生成拟合二元多项式所需的矩阵，并将拟合曲线绘制出来。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 构造数据
x = np.linspace(-1, 1, 50)
y = np.linspace(-1, 1, 50)
xx, yy = np.meshgrid(x, y)
zz = np.sin(xx * np.pi / 2) * np.sin(yy * np.pi / 2)

# 拟合二元多项式
deg = 5
vander = np.polyvander2d(x, y, [deg, deg])
vander = vander.reshape((-1, vander.shape[-1]))
F = vander @ np.linalg.pinv(vander) @ zz.flatten(order='F')

# 绘制拟合曲线
xx, yy = np.meshgrid(np.linspace(-1, 1, 100), np.linspace(-1, 1, 100))
vander = np.polyvander2d(xx.flatten(), yy.flatten(), [deg, deg])
vander = vander.reshape((-1, vander.shape[-1]))
zz_fit = np.dot(vander, F).reshape(xx.shape, order='F')
plt.imshow(zz_fit, cmap=plt.cm.viridis, extent=[-1, 1, -1, 1])
plt.colorbar()

输出：