11类NCERT解决方案 – 第8章二项式定理 – 练习8.2

介绍

这是一个关于二项式定理的习题集解决方案，适用于11年级学生。本解决方案仅包含第8章中的练习8.2。二项式定理是代数中重要的定理之一，它将幂的乘积展开为一系列二项式之和。此习题集将使用二项式定理来解决各种问题。

内容

本解决方案涵盖以下问题：

1. 求解给定二项式系数的值。
2. 求解给定代数式的值，使用二项式定理展开。
3. 计算每个二项式展开式的常数项。
4. 比较二项式系数并给出相关的推论。
5. 应用二项式定理解决给定的问题。

本解决方案将提供逐步的解决方案和详细说明，以便学生可以更好地理解和掌握。

问题1

计算以下二项式系数：

(a) $\binom{n}{0}$

(b) $\binom{n}{1}$

(c) $\binom{n}{2}$

(d) $\binom{n}{n-1}$

(e) $\binom{n}{n}$

解决方案

(a) $\binom{n}{0} = 1$

使用二项式定理的形式，可以看出 $(x+y)^0 = 1$。因此 $\binom{n}{0} = 1$。

(b) $\binom{n}{1} = n$

使用二项式定理的形式，可以看出 $(x+y)^1 = x+y$。因此，$\binom{n}{1} = n$。

(c) $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$

使用二项式定理的形式，可将其展开为：

$$(x+y)^n = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}y + \binom{n}{2}x^{n-2}y^2 + \cdots + \binom{n}{n-1}xy^{n-1} + \binom{n}{n}y^n$$

为了计算 $\binom{n}{2}$，我们需要系数和 $x^{n-2}y^2$ 的项。根据二项式定理，我们将得到：

$$\begin{aligned} \binom{n}{2}x^{n-2}y^2 &= \frac{n!}{2!(n-2)!}x^{n-2}y^2 \ &= \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}y^2 \end{aligned}$$

因此，$\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$。

(d) $\binom{n}{n-1} = n$

使用二项式定理的形式，可观察到 $(x+y)^n = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}y + \cdots + \binom{n}{n-1}xy^{n-1} + \binom{n}{n}y^n$。

因此，$\binom{n}{n-1}$ 的系数是 $xy^{n-1}$ 的系数，即最后一个乘 x 的项。根据上述定义，可以看出 $\binom{n}{n-1} = n$。

(e) $\binom{n}{n} = 1$

这个问题与问题 (a) 类似。

提示：考虑 $(x+y)^n$ 的展开式，其中 $x^n$ 的系数为 $\binom{n}{n} = 1$。

问题2

使用二项式定理展开以下代数式的值：

(a) $(1+x)^3$

(b) $(a-2b)^4$

(c) $(2x+y)^2$

(d) $(1+x^2)^2$

解决方案

(a) $(1+x)^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3$

这个问题可以使用二项式定理形式的 $(x+y)^n$ 来解决。所以，$(1+x)^3$ 的展开式是：

$$(1+x)^3 = \binom{3}{0}\cdot 1^3 + \binom{3}{1}\cdot 1^2x + \binom{3}{2}\cdot 1x^2 + \binom{3}{3}x^3$$

也就是说：

$$(1+x)^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3$$

(b) $(a-2b)^4 = a^4 - 8a^3b + 24a^2b^2 - 32ab^3 + 16b^4$

$(a-2b)^4$ 可以使用二项式定理形式的 $(x+y)^n$ 来解决。因此，

$$(a-2b)^4 = \binom{4}{0}\cdot a^4 - \binom{4}{1}\cdot a^3(2b) + \binom{4}{2}\cdot a^2(2b)^2 - \binom{4}{3}\cdot a(2b)^3 + \binom{4}{4}\cdot (2b)^4$$

从上式中可以得到：

$$(a-2b)^4 = a^4 - 8a^3b + 24a^2b^2 - 32ab^3 + 16b^4$$

(c) $(2x+y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$

它也可以使用二项式定理形式的 $(x+y)^n$ 来解决。使用二项式定理展开 $(2x+y)^2$ 的方法如下:

$$(2x+y)^2 = \binom{2}{0}(2x)^2 + \binom{2}{1}(2x)y + \binom{2}{2}y^2$$

也就是：

$$(2x+y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$$

(d) $(1+x^2)^2 = 1 + 2x^2 + x^4$

这个问题也可以使用二项式定理。因此，

$$(1+x^2)^2 = \binom{2}{0}1^2 + \binom{2}{1}1(x^2) + \binom{2}{2}(x^2)^2$$

这意味着，

$$(1+x^2)^2 = 1 + 2x^2 + x^4$$

问题3

计算以下每个二项式展开式的常数项：

(a) $(3+x)^5$

(b) $(2-x)^4$

(c) $(1+x)^6$

解决方案

常数项是指展开式中所有次数为零的项，例如 $4x^3$ 中的常数项为零。

(a) $(3+x)^5$ 的常数项为 $3^5 = 243$。我们认为有：

$$(3+x)^5 = \binom{5}{0}3^5 + \binom{5}{1}3^4x+ \binom{5}{2}3^3x^2 + \binom{5}{3}3^2x^3 + \binom{5}{4}3x^4 + \binom{5}{5}x^5$$

因此，常数项是 $\binom{5}{0}3^5 = 243$。

(b) $(2-x)^4$ 的常数项为 $2^4 = 16$。我们认为有：

$$(2-x)^4 = \binom{4}{0}2^4 - \binom{4}{1}2^3x + \binom{4}{2}2^2x^2 - \binom{4}{3}2x^3 + \binom{4}{4}x^4$$

因此，常数项是 $\binom{4}{0}2^4 = 16$。

(c) $(1+x)^6$ 的常数项为 $1^6 = 1$。我们认为有：

$$(1+x)^6 = \binom{6}{0}1^6 + \binom{6}{1}1^5x + \binom{6}{2}1^4x^2 + \binom{6}{3}1^3x^3 + \binom{6}{4}1^2x^4 + \binom{6}{5}1x^5 + \binom{6}{6}x^6$$

因此，常数项是 $\binom{6}{0}1^6 = 1$。

问题4

比较以下二项式系数：

(a) $\binom{10}{4}$ 和 $\binom{10}{6}$

(b) $\binom{16}{7}$ 和 $\binom{16}{9}$

(c) $\binom{5}{2}$ 和 $\binom{5}{3}$

解决方案

这个问题需要使用二项式定理的公式来评估。回想一下，$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$。

(a) $\binom{10}{4} = \binom{10}{6}$

判断是否 $\binom{10}{4}$（即 $\frac{10!}{4!6!}$）等于 $\binom{10}{6}$（即 $\frac{10!}{6!4!}$）。阶乘的部分将被称为等式的分子和分母，然后该式将化简为：

$$\begin{aligned} \frac{10!}{4!6!} &= \frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \ &= \frac{10\cdot 9\cdot 2\cdot 7}{2\cdot 1} \cdot \frac{1}{3\cdot 4} \ &= 210 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \frac{10!}{6!4!} &= \frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \ &= \frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \cdot \frac{5}{6\cdot 5} \ &= 210 \end{aligned}$$

由此可见，$\binom{10}{4} = \binom{10}{6}$。

(b) $\binom{16}{7} > \binom{16}{9}$

比较 $\binom{16}{7}$（即 $\frac{16!}{7!9!}$）和 $\binom{16}{9}$（即 $\frac{16!}{9!7!}$）。阶乘的部分将被称为等式的分子和分母，然后该式将化简为：

$$\begin{aligned} \frac{16!}{7!9!} &= \frac{16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10}{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \ &= \frac{16\cdot 15\cdot 14}{3\cdot 2\cdot 1} \cdot \frac{11\cdot 10}{7\cdot 6} \ &= 11440 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \frac{16!}{9!7!} &= \frac{16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8}{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \ &= \frac{16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10}{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \cdot \frac{9\cdot 8}{9\cdot 8} \ &= 8008 \end{aligned}$$

由此，可看出 $\binom{16}{7}$ 大于 $\binom{16}{9}$。

(c) $\binom{5}{2} < \binom{5}{3}$

比较 $\binom{5}{2}$（即 $\frac{5!}{2!3!}$）和 $\binom{5}{3}$（即 $\frac{5!}{3!2!}$）。我们有：

$$\begin{aligned} \binom{5}{2} = \frac{5\cdot 4}{2\cdot 1} = 10 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \binom{5}{3} = \frac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1} = 10 \end{aligned}$$

因此，$\binom{5}{2}$ 和 $\binom{5}{3}$ 相等。

问题5

使用二项式定理解决以下问题：

(a) 求解 $(1+x)^8$ 中所有 $x^4$ 的系数。

(b) 在以 $x^3$ 开头的二项式展开式 $(1+x)^{10}$ 中，求解 $x^4$ 的系数。

(c) 在以 $a^3b$ 开头的二项式展开式 $(a+b)^6$ 中，求解 $a^2b^4$ 的系数。

解决方案

(a) $(1+x)^8$ 的系数 $x^4$ 等于 $\binom{8}{4} = 70$。

(b) 在 $(1+x)^{10}$ 的展开式中，$x^4$ 的系数为 $\binom{10}{4} = 210$。

(c) 在 $(a+b)^6$ 展开式的开头部分为 $a^3b$。因此，展开式的常数是 $\binom{6}{3} = 20$。$a^2b^4$ 的系数等于以下二项式展开式的常数项:

$$(a^3b + ab^3)^2(a^2b) = a^8b^5 + 2a^6b^7 + 2a^4b^9 + a^2b^{11}$$

$a^2b^4$ 的系数是 $2\cdot \binom{2}{1}\cdot 1 = 4$。

结论

这个解决方案为学生提供了解决各种二项式定理问题的方法。学生可以通过展开二项式并比较系数的方式解决问题，也可以使用其他技巧，如计算常数项。这些方法可以帮助学生更好地理解和掌握二项式定理的概念。