平面图和非平面图

平面图和非平面图是图论中常见的概念，它们在计算机科学中也有着广泛的应用，尤其在图形学和计算机视觉中。本文将简单介绍这两个概念及其相关算法。

平面图

平面图是指可以画在平面上，且其中任意两条边不相交的图。一个简单的例子如下：

图中的三角形、正方形和五边形都可以画在平面上，相互之间没有交叉。一个更复杂的例子如下：

这个由十二个顶点和二十个边组成的图也可以画在平面上，边之间没有相交。需要注意的是，在平面图中，相邻两个面如果有公共的边，则这条边应该被计算两次。

对于一个给定的图，如果它不是平面图，那么我们称其为非平面图。

K5图

K5图是一个著名的非平面图，也是五个节点的完全图。这个图中任意两个节点之间都有一条边，如下图所示：

通过观察可以发现，无论如何将这五个节点连起来，都无法使边不重叠，因此K5图不是平面图。类似的还有K3,3图，其节点由两个集合A和B组成，A中的任意一个节点都与B中的任意一个节点相连，如下图所示：

同样可以看出K3,3图不是平面图。

判定平面图

如何判定一个给定的图是否为平面图呢？有一个经典的算法——Euler公式。Euler公式可以用来判断一个平面连通图是否为平面图。公式如下：

$$ V-E+F=2 $$

其中，V表示图中的顶点数，E表示边的数量，F表示图中的面的数量。这个公式表明了平面图中顶点、边和面的关系。

例如上面的简单平面图，它的顶点数V=7，边数E=9，面的数量F=5，带入Euler公式有：

$$ 7-9+5=2 $$

等式左右两边相等，所以这个图是平面图。

同样的，我们可以用这个公式来测试K5图和K3,3图。对于K5图，它的顶点数V=5，边数E=10，面的数量F=不知道。带入Euler公式得到：

$$ 5-10+F=2 $$

整理后可得：

$$ F=7 $$

这说明K5图中有7个面，与我们直觉中不同。事实上，K5图中外面包围的那块也算一块面，所以面的数量不是5而是6。而对于K3,3图，它的顶点数和边数分别都为6，而F也是不知道的。带入Euler公式得到：

$$ 6-9+F=2 $$

整理后可得：

$$ F=5 $$

这说明K3,3图中有5个面，与我们直觉中一致。我们可以通过不断的化简来求得给定图中面的数量。

以上就是平面图和非平面图的简介。在计算机图形学和计算机视觉中，平面图和非平面图的应用非常广泛，例如进行金字塔建模时需要判断状况是否合法、检测拍摄的图片中是否存在大量相交的棱角、设计路线时需要考虑地面的平展性等等。如果你对这方面的知识感兴趣，可以深入学习一下图的相关知识。