2-可满足性(2-SAT)问题

简介

2-可满足性（2-SAT）问题是在布尔逻辑中的一个经典计算问题。给定一组布尔变量和一组约束条件，我们的目标是找到一个变量的赋值方案，使得所有约束条件都满足。

方法

2-SAT问题可以转化为有向图中的强连通分量（SCC）问题，并使用图论算法来解决。具体步骤如下：

1. 对于每个变量，创建两个节点v和¬v表示该变量的真值和反值。
2. 对于每个约束条件(a ∨ b)，创建两条有向边(¬a, b)和(¬b, a)。
3. 在得到的有向图上运行强连通分量算法，找到所有强连通分量。
4. 如果存在一个变量v和它的反值¬v在同一个强连通分量中，则无法满足约束；否则，存在一个满足约束条件的赋值方案。

代码示例：

import numpy as np

class TwoSAT:
    def __init__(self, num_vars):
        self.num_vars = num_vars
        self.graph = [[] for _ in range(2 * num_vars)]
        
    def add_clause(self, a, b):
        self.graph[self.negate_literal(a)].append(b)
        self.graph[self.negate_literal(b)].append(a)
        
    def negate_literal(self, lit):
        return (2 * lit + self.num_vars) % (2 * self.num_vars)
    
    def tarjan_scc(self):
        index_counter = [0]
        stack = []
        lowlink = [0] * (2 * self.num_vars)
        index = [-1] * (2 * self.num_vars)
        on_stack = [False] * (2 * self.num_vars)
        
        sccs = []
        
        def strongconnect(v):
            index[v] = index_counter[0]
            lowlink[v] = index_counter[0]
            index_counter[0] += 1
            stack.append(v)
            on_stack[v] = True
            
            for w in self.graph[v]:
                if index[w] == -1:
                    strongconnect(w)
                    lowlink[v] = min(lowlink[v], lowlink[w])
                elif on_stack[w]:
                    lowlink[v] = min(lowlink[v], index[w])
            
            if lowlink[v] == index[v]:
                scc = []
                while True:
                    w = stack.pop()
                    on_stack[w] = False
                    scc.append(w)
                    if w == v:
                        break
                sccs.append(scc)
        
        for v in range(2 * self.num_vars):
            if index[v] == -1:
                strongconnect(v)
                
        return sccs
    
    def is_satisfiable(self):
        sccs = self.tarjan_scc()
        
        for scc in sccs:
            vars_in_scc = [literal // 2 for literal in scc]
            for var in vars_in_scc:
                if self.negate_literal(var) in scc:
                    return False
        
        return True

# 使用示例：
solver = TwoSAT(2)  # 创建一个有两个变量的2-SAT求解器
solver.add_clause(0, 1)  # 添加约束条件

if solver.is_satisfiable():
    print("可满足")
else:
    print("不可满足")

总结

2-SAT问题是一个经典的布尔逻辑计算问题，可以通过构建有向图和运行强连通分量算法来解决。上述代码提供了一个简单的2-SAT求解器示例，你可以根据自己的需求扩展和优化它。