门|门CS 2008 |问题 23

这是一道来自门|门CS 2008年的编程问题，需要求出一个指定数列中第 n 项的值。本题可以通过递归算法或动态规划算法解决。

问题描述

有一条数列，它的前两项分别为 1 和 2，后面的每一项都是其前两项之和。例如，这条数列的前 10 项分别是：

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89

请编写一个程序，能够输入一个整数 n（0<n<=10000），并输出数列中的第 n 项的值。

解法一：递归算法

递归算法是一种从问题的结果出发递归求解的算法。本题可以使用递归算法来求解，递归函数可以定义如下：

public int fibonacci(int n) {
    if (n == 1 || n == 2) {
        return n - 1;
    } else {
        return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
    }
}

其中，n 表示要求的数列中的项数，函数返回值为对应的项值。当 n 为 1 或 2 时，直接返回 0 或 1，否则递归调用自身进行求解。

该算法的时间复杂度为指数级别，因此不适合用于大规模数据的求解。

解法二：动态规划算法

动态规划算法是一种利用已知信息求解未知问题的算法。本题可以使用动态规划算法来求解，算法思路如下：

1. 初始化 f[1]=1 和 f[2]=2。
2. 从 f[3] 开始，逐项计算 f[i]=f[i-1]+f[i-2]，直到计算出 f[n]。
3. 返回 f[n]。

代码实现如下：

public int fibonacci(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    } else {
        int[] f = new int[n+1];
        f[1] = 1;
        f[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            f[i] = f[i-1] + f[i-2];
        }
        return f[n];
    }
}

该算法的时间复杂度为 O(n)，可以满足大规模数据的求解需求。

以上是本题的两种解法，程序员可以根据自己的需求选择相应的算法进行求解。