在 NIM 游戏中以最佳方式进行第一步的方法数

什么是 NIM 游戏？

NIM 游戏是一种数学游戏，由两个玩家轮流取走物品堆中的物品，每次可以取走一定数量的物品，但不能超过规定的数量。如果某个玩家取走了最后一个物品，则另一个玩家获胜。

如何进行第一步？

在 NIM 游戏中，第一步非常重要，因为它直接决定了后续游戏的走向。在一般情况下，我们希望第一步尽可能地优势。

我们先来考虑一个简单的情况：我们有一堆石头，数量为 N，每次可以取走 1-3 个石头，最后取走最后一个石头的人获胜。那么我们的目标就是让自己是最后一个取走石头的人。

根据经验，我们可以得出一些规律：

• 当 N mod 4 == 1 时，我们可以取走 1 个石头使得剩下的石头数量为 4，然后我们每次都取走剩下的石头数量，就可以保证自己是最后一个取走石头的人。
• 当 N mod 4 == 2 时，我们可以取走 2 个石头使得剩下的石头数量为 4，然后我们每次都取走剩下的石头数量，就可以保证自己是最后一个取走石头的人。
• 当 N mod 4 == 3 时，我们可以取走 3 个石头使得剩下的石头数量为 4，然后我们每次都取走剩下的石头数量，就可以保证自己是最后一个取走石头的人。
• 当 N mod 4 == 0 时，我们取走任意数量的石头都无济于事，因为我们不能避免对方取走剩下的石头数量。

以上规律可以用程序来实现：

def get_best_move(N: int) -> int:
    if N % 4 == 1:
        return 1
    elif N % 4 == 2:
        return 2
    elif N % 4 == 3:
        return 3
    else:
        return 0

如何使用该函数？

我们可以将该函数用于 NIM 游戏中，让程序计算出最佳的第一步应该取走多少个物品。

例如，我们有三堆石头，数量分别为 5，6，7，那么我们可以分别计算出每堆石头的最佳第一步，然后选择其中最优的一个即可。

def nim_game(piles: List[int]) -> int:
    xor_sum = 0
    for p in piles:
        xor_sum ^= p
    if xor_sum == 0:
        return 0
    for p in piles:
        if xor_sum ^ p < p:
            return get_best_move(p)
    return -1

总结

通过计算每个物品堆的最佳第一步，我们可以在 NIM 游戏中取得更大的胜率。当然，这只是一个简单的做法，实际上，针对各种不同的规则，我们需要设计不同的策略才能取得最佳的胜率。