计算环绕字符串存在的字符串S的唯一子字符串

在计算机领域，字符串是最基本的数据类型之一。而计算环绕字符串存在的字符串S的唯一子字符串则是字符串算法中的一种经典问题。

问题描述

给定一个由小写字母组成的字符串S，定义字符串S的环绕字符串为：将字符串S首尾相接，得到的字符串。例如，若S="abc"，则S的环绕字符串为"abcabc"。

现在，我们需要计算字符串S的环绕字符串中存在的所有子字符串，并返回这些子字符串组成的集合中的唯一元素。

解决方案

为了解决这个问题，我们可以采取如下步骤：

1. 设计一个字符串哈希函数，用于计算字符串的哈希值。
2. 对环绕字符串进行遍历，依次计算不同长度的子字符串的哈希值。
3. 将不同长度的子字符串的哈希值加入一个集合中，集合中的元素即为唯一子字符串的哈希值。
4. 根据哈希值计算唯一子字符串，并返回结果。

以下是一个可以解决该问题的Python函数：

def unique_substring(s):
    n = len(s)
    prime = 101
    mod = pow(10, 9) + 7
    base = 26
    
    def hash(substr):
        h = 0
        for c in substr:
            h = (h * base + ord(c) - ord('a')) % mod
        return h
    
    def all_substrings(s):
        for i in range(n):
            for j in range(i+1, n+1):
                yield s[i:j]
    
    hashed_substrings = set()
    for substring in all_substrings(s+s):
        for i in range(n):
            if i + len(substring) > n:
                break
            if hash(s[i:i+len(substring)]) != hash(substring):
                break
        else:
            hashed_substrings.add(hash(substring))
        
    unique_substrings = set()
    for hash_val in hashed_substrings:
        substr = ''
        while hash(substr) != hash_val:
            substr += s[len(substr)]
        unique_substrings.add(substr)
    
    return unique_substrings

其中，hash函数用于计算哈希值，all_substrings函数用于生成所有子字符串，hashed_substrings用于存储哈希过的子字符串，unique_substrings用于存储唯一子字符串。

以上代码的时间复杂度为 $O(N^3)$，其中 $N$ 为字符串S的长度，但是由于哈希值的存在，实际运行速度比较快。

总结

计算环绕字符串存在的字符串S的唯一子字符串是字符串算法中的一道经典问题，解决这个问题需要用到哈希函数、哈希值等一系列知识。以上给出的解决方案，时间复杂度较高，但是实际运行速度比较快。当然，还有一些更加高效的解决方案和优化方法，可以继续深入了解。