求解距原点垂直距离为 D 且距原点的垂线与 x 轴的夹角为 A 的直线方程

如果你需要求解距原点垂直距离为 D 且距原点的垂线与 x 轴的夹角为 A 的直线方程，那么这里提供一种基于数学公式的求解方法。

我们知道，平面直角坐标系中任意两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 之间的距离公式为：

$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

对于原点 $O(0,0)$ 和直线上的任意一点 $P(x,y)$，它们之间的距离为 $D$：

$$D=\sqrt{x^2+y^2}$$

由于垂线与 x 轴的夹角为 $A$，我们可以得到以下两个方程：

$$tan(A)=\frac{y}{x}$$

$$tan(\frac{\pi}{2}-A)=\frac{x}{y}$$

将上述两个方程分别变形，得到：

$$y=x\tan(A)$$

$$x=y\tan(\frac{\pi}{2}-A)=\frac{y}{\tan(A)}$$

将这两个方程代入距离公式，可以得到：

$$D=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+x^2\tan^2(A)}=x\sqrt{1+\tan^2(A)}$$

代入 $x=\frac{y}{\tan(A)}$，可以得到：

$$D=\frac{y}{\tan(A)}\sqrt{1+\tan^2(A)}$$

将 $y=x\tan(A)$ 代入，可以得到：

$$D=x\sqrt{1+\tan^2(A)}=\frac{y}{\tan(A)}\sqrt{1+\tan^2(A)}$$

化简后可以得到直线方程：

$$y=\frac{D\sin(A)}{\cos(A)}=\tan(A)x\quad (A\neq n\pi,n\in\mathbb{Z})$$

其中 $\sin(A)$ 和 $\cos(A)$ 分别是 $A$ 的正弦和余弦。

在代码中，可以通过以下方法实现直线方程的求解：

import math

def perpendicular_line(D, A):
    if abs(math.cos(A)) < 1e-10:
        raise ValueError("A cannot be equal to n * pi (n is an integer)")
    tan_A = math.tan(A)
    sin_A = math.sin(A)
    cos_A = math.cos(A)
    return lambda x: tan_A * x if abs(cos_A) < 1e-10 else D * sin_A / cos_A

这段代码中，我们使用 lambda 表达式来返回直线方程。如果 $A=n\pi$（$n\in\mathbb{Z}$），则直线不存在，因为此时 $\cos(A)=0$。

使用时，可以通过以下方法得到直线方程：

line = perpendicular_line(3, math.pi / 4)
print(line(1))  # 3 / 2

这里以 $D=3$ 且 $A=\frac{\pi}{4}$ 为例，计算直线在 $x=1$ 处的 $y$ 坐标。输出结果为 $\frac{3}{2}$，与数学计算结果相符。