QA – 安置测验|时钟时钟时钟|问题 3

问题描述

编写一个函数，输入为一组互不相同的数字，输出为按照时钟排列的所有排列。

具体来说，时钟排列是指数字排成一个圆，其中第一个数字和最后一个数字相邻，其余数字依次相邻，如下面的例子：

1 2 3
8   4
7 6 5

例如，输入数字为1, 2, 3, 4, 输出为：

1 2 3 4 
1 4 3 2 
4 3 2 1 
4 1 2 3 

解决方案

本题可以通过回溯算法来实现。我们可以从数字1开始，依次尝试将其放入每个位置上，然后递归搜索后续的数字，直到放完所有数字为止。在递归时需要注意，我们需要记录已经放置的数字，以便在后续的搜索中排除这些数字。

具体来说，我们可以定义一个长度为$n$的数组$nums$来记录已经放置的数字，其中$nums[i]$表示第$i$个位置上的数字。我们从位置0开始尝试将数字1放入每个位置，然后递归搜索后续的数字。在递归搜索后续数字时，我们先检查该数字是否已经被放置过，如果已经放置过，则直接跳过，否则尝试将其放入下一个位置，然后继续递归搜索后续数字。在递归搜索后续数字时，我们需要注意，如果当前数字是最后一个数字，则需要检查该排列是否符合时钟排列的要求，即第一个数字和最后一个数字相邻，其余数字依次相邻。

在检查一个排列是否符合时钟排列的要求时，我们可以先找到数字1在数组$nums$中的位置$i$，然后判断其前一个位置$(i-1+n)%n$和后一个位置$(i+1)%n$上的数字是否分别为2和$n$，其中$n$为数字的总个数。如果满足条件，则说明该排列符合时钟排列的要求，可以加入结果集合。注意在加入结果之前需要将数组$nums$中的所有数字拷贝到新的数组中，因为数组$nums$会在后续的搜索中被改变。

详细的代码实现见下：

public List<List<Integer>> clockPermutation(int[] nums) {
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
    boolean[] used = new boolean[nums.length];
    Arrays.fill(used, false);
    search(nums, used, new ArrayList<Integer>(), res);
    return res;
}

private void search(int[] nums, boolean[] used, List<Integer> tmp, List<List<Integer>> res) {
    if (tmp.size() == nums.length) {
        // check if this permutation is a clock permutation
        int n = nums.length;
        int first = tmp.indexOf(1);
        if ((tmp.get((first-1+n)%n) == 2 && tmp.get((first+1)%n) == n) ||
            (tmp.get((first+1)%n) == 2 && tmp.get((first-1+n)%n) == n)) {
            res.add(new ArrayList<Integer>(tmp));
        }
        return;
    }
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        if (!used[i]) {
            // try to put number i in the next position
            tmp.add(nums[i]);
            used[i] = true;
            search(nums, used, tmp, res);
            // undo the changes
            used[i] = false;
            tmp.remove(tmp.size()-1);
        }
    }
}

复杂度分析

本题的时间复杂度为$O(n!)$，其中$n$为数字的总个数。因为一共有$n!$种不同的排列，对于每个排列，我们需要$O(n)$的时间来检查是否为时钟排列，因此总的时间复杂度为$O(n! \times n)$。空间复杂度为$O(n)$，即递归深度为$n$，需要$O(n)$的空间来存储已经放置的数字。