门| GATE-CS-2003 |第 67 题

题目描述

给定一个有向图 $G=(V,E)$，其邻接矩阵为 $A$，其中 $A_{i,j}=1$ 表示从顶点 $i$ 到顶点 $j$ 存在一条有向边。假定图中没有自环或平行边。设计一个时间复杂度为 $O(|V|^3)$ 的算法，该算法用于计算从顶点 $i$ 到顶点 $j$ 的所有路径中最大边数。路径可以重复经过顶点，但不能重复经过边。

思路

本题要求计算从 $i$ 到 $j$ 的所有路径中最大的边数，我们可以使用 Floyd 算法进行解决。额外开一个数组 $B_{i,j}$ 存储从 $i$ 到 $j$ 的所有路径中最长路径的边数。

Floyd 算法的核心代码如下：

for k in range(n):
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if adj_matrix[i][j] < adj_matrix[i][k] * adj_matrix[k][j]:
                adj_matrix[i][j] = adj_matrix[i][k] * adj_matrix[k][j]
                B[i][j] = B[i][k] + B[k][j]

在这里，我们通过枚举中间结点 $k$，计算从 $i$ 到 $j$ 的最长路径。由于每个点都被依次作为中间结点，因此时间复杂度为 $O(|V|^3)$。

代码实现

def longest_path(adj_matrix, n):
    """
    计算从顶点 i 到顶点 j 的所有路径中最大的边数
    :param adj_matrix:邻接矩阵
    :param n: 顶点数
    :return: longest_path[i][j] 表示从顶点 i 到顶点 j 的所有路径中最大的边数
    """
    B = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            B[i][j] = 1 if adj_matrix[i][j] == 1 else 0

    for k in range(n):
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                if adj_matrix[i][k] == 1 and adj_matrix[k][j] == 1:
                    if adj_matrix[i][j] < adj_matrix[i][k] * adj_matrix[k][j]:
                        adj_matrix[i][j] = adj_matrix[i][k] * adj_matrix[k][j]
                        B[i][j] = B[i][k] + B[k][j]

    return B

测试示例

为了测试该算法的正确性，我们可以构造一个简单的示例。

例如，给定一个 $4$ 个顶点的图 $G=(V,E)$，邻接矩阵为：

0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 1
0 0 0 1

则从顶点 $0$ 到顶点 $3$ 的所有路径中最大边数为 $2$，因为存在两条路径 $0\to 2\to 3$ 和 $0\to 1\to 2\to 3$，均有 $2$ 条边。我们可以使用本算法，计算其返回的 $B$ 矩阵，可以验证其正确性。