实现 Vizing 定理的 Java 程序

Vizing 定理是图论中的一个重要定理，它描述了每个简单无向图的边缩放图的色数，即每个简单无向图的最小边色数和最大边色数之间的最大差值。本文将介绍如何使用 Java 程序实现 Vizing 定理。

算法思路

Vizing 定理是基于图的边染色理论。根据该定理，对于一个简单无向图 G，我们可以找到一个简单无向图 H，使得 G 和 H 有相同的顶点集，且 H 的最小边色数和最大边色数之间的最大差值等于 G 的最大匹配数。

具体实现 Vizing 定理的 Java 程序，需要以下步骤：

1. 首先要确定给图染色的方式，给所有的边染上颜色；
2. 然后找到每个点相邻的边的颜色集合，并在这些颜色集合中找到可用的最小颜色；
3. 如果最小颜色不存在或者已经用完，则需要使用一种新颜色去染色。
4. 迭代进行步骤 2 和步骤 3，直到图中所有的边都被染上颜色。

代码说明

下面附上示例代码，该代码实现了基于以上思路的 Vizing 定理的 Java 程序：

import java.util.*;
 
public class VizingTheorem {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        System.out.print("Enter the number of vertices: ");
        int n = input.nextInt();
        int[][] graph = new int[n][n];
        System.out.println("Enter the adjacency matrix:");
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                graph[i][j] = input.nextInt();
            }
        }
        int[][] result = vizing(graph);
        System.out.println("The edge colors are:");
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (result[i][j] > 0) {
                    System.out.println("(" + i + "," + j + "): " + result[i][j]);
                }
            }
        }
    }
 
    public static int[][] vizing(int[][] graph) {
        int n = graph.length;
        int[][] colors = new int[n][n];
        int[] available = new int[n + 1];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            Arrays.fill(colors[i], -1);
            available[0] = Integer.MAX_VALUE;
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                if (graph[i][j] == 1) {
                    Set<Integer> adjacentColors = new HashSet<>();
                    for (int k = 0; k < n; k++) {
                        if (graph[i][k] == 1 && colors[i][k] != -1) {
                            adjacentColors.add(colors[i][k]);
                        }
                        if (graph[j][k] == 1 && colors[j][k] != -1) {
                            adjacentColors.add(colors[j][k]);
                        }
                    }
                    int color = getSmallestAvailableColor(adjacentColors, available);
                    if (color == -1) {
                        color = getSmallestUnusedColor(available);
                    }
                    colors[i][j] = color;
                    colors[j][i] = color;
                    available[color] = available[color] - 1;
                }
            }
        }
        return colors;
    }
 
    public static int getSmallestAvailableColor(Set<Integer> colors, int[] available) {
        for (Integer color : colors) {
            if (available[color] > 0) {
                return color;
            }
        }
        return -1;
    }
 
    public static int getSmallestUnusedColor(int[] available) {
        for (int i = 1; i < available.length; i++) {
            if (available[i] > 0) {
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }
}

上述示例代码中，vizing 函数的返回值是一个 n * n 的数组，其中 colors[i][j] 表示边 (i,j) 的颜色。输入数据中，以邻接矩阵的形式表示了一个无向图，最终输出结果为该图的边的颜色。

总结

本文介绍了如何使用 Java 程序实现 Vizing 定理。通过该文章我们了解了实现的算法思路和具体的代码实现，这对于理解 Vizing 定理和深入学习图论都具有一定的参考意义。