门 | GATE CS 2012 | 问题24

这道问题考察了对于图遍历的基础知识，需要找到从给定起点到给定终点的最短路径。

问题描述

给定一个无向图 $G=(V,E)$，每一条边 $e \in E$ 都有权重 $c(e)$，且对于 $1 \leq i,j \leq n$，若 $(i,j) \notin E$，则 $c(i,j)=\infty$。给定起点 $s$ 和终点 $t$，请实现一个算法来找到 $s$ 到 $t$ 的最短路径。

解题思路

本题可以通过 Dijkstra 算法来解决。Dijkstra 算法的基本思想是维护一个集合 $S$，它包含已经找到最短路径的点，以及与这些点相邻的点。一开始， $S$ 只包含起点 $s$，并且到所有点的距离都为无穷大。随着算法的进行，将新的点加入到 $S$ 中，并更新与 $S$ 中的点相邻的点的距离。不断迭代这个过程，直到终点 $t$ 被加入到 $S$ 中，或者所有点都已加入。

具体实现时，可以使用一个优先队列来保存距离当前点最近的点。在每次从队列中取出一个点后，更新与该点相邻的点的距离，然后将它们加入到队列中。

最终，如果要输出路径，需要在更新过程中维护一个前驱数组 $p$，保存每一个点的前驱。

代码实现

以下是使用 Python 语言实现 Dijkstra 算法的代码：

import heapq

def dijkstra(n, adj, s, t):
    d = [float('inf')] * n
    d[s] = 0
    p = [-1] * n

    q = []
    heapq.heappush(q, (0, s))

    while q:
        dist, u = heapq.heappop(q)
        if u == t:
            break
        if d[u] < dist:
            continue
        for v, w in adj[u]:
            if d[u] + w < d[v]:
                d[v] = d[u] + w
                p[v] = u
                heapq.heappush(q, (d[v], v))

    if d[t] == float('inf'):
        return []
    else:
        path = []
        while t != -1:
            path.append(t)
            t = p[t]
        return path[::-1]

其中，n 表示节点数，adj 是图的邻接表表示，s 表示起点，t 表示终点。邻接表的形式为：

adj = [[] for _ in range(n)]
for i in range(m):
    u, v, w = map(int, input().split())
    adj[u-1].append((v-1, w))
    adj[v-1].append((u-1, w))

对于每个节点，邻接表中存储了与它相邻的点及其权重。

使用方式为：

path = dijkstra(n, adj, s, t)
if path:
    print(*path)
else:
    print(-1)

如果找到了最短路径，输出路径经过的节点；否则输出 -1。

算法分析

Dijkstra 算法的时间复杂度为 $O((m+n)\log n)$，其中 $m$ 是边数，$n$ 是点数。邻接表的适用性弥补了邻接矩阵的空间复杂度问题，使得算法的总体表现更优秀。