圆内刻有正方形的最大Reuleaux三角形

Reuleaux三角形是一种曲线图形，由圆的三段弧组成。如果这个曲线恰好内切一个正方形，那么这个Reuleaux三角形就是“圆内刻有正方形的最大Reuleaux三角形”。

问题描述

给定一个半径为$r$的圆，找到一个圆内刻有正方形的最大Reuleaux三角形，该正方形的边长为$L$。

解决思路

为了找到这个最大Reuleaux三角形，我们可以采用二分法。首先，假设正方形的边长$L$的可能取值范围为$[0,r]$，通过二分法缩小$L$的范围，最终得到圆内刻有正方形的最大Reuleaux三角形。

对于给定的$L$，我们可以通过计算Reuleaux三角形的面积与正方形面积的比值来判断是否存在圆内刻有此正方形的Reuleaux三角形。具体来说，我们先计算正方形的面积$S_{sq}=L^2$，然后计算Reuleaux三角形的面积$S_{rt}$。由于Reuleaux三角形非常复杂，难以直接计算其面积。因此，我们可以将其拆分为三个部分：圆形的面积$S_{c}$、三角形面积的和$S_{t_1}+S_{t_2}$，其中$S_{t_1}$和$S_{t_2}$分别表示在圆的两侧的三角形面积。计算这三个部分的面积可以使用公式：

$S_{c}=\pi r^2$

$S_{t}=\frac{1}{2}r^2\sin\theta$

其中$\theta$表示圆心角的大小，可以通过余弦定理计算：

$\cos\theta=\frac{2r^2-L^2}{2r^2}$

因此，

$\theta=\arccos\frac{2r^2-L^2}{2r^2}$

这样，我们就可以计算出Reulenx三角形的面积$S_{rt}=S_{c}-(S_{t_1}+S_{t_2})$，然后通过比较$S_{rt}/S_{sq}$与$1$的大小关系判断是否存在圆内刻有该正方形的Reuleaux三角形。

参考代码如下：

import math

def reuleaux_triangle(r, L):
    theta = math.acos((2*r*r - L*L) / (2*r*r))
    S_c = math.pi * r * r
    S_t1 = (0.5 * r * r) * math.sin(theta)
    S_t2 = (0.5 * L * math.sqrt(r*r - L*L/4))
    S_rt = S_c - 2*(S_t1 + S_t2)
    S_sq = L * L

    return S_rt / S_sq >= 1

def max_reuleaux_triangle(r):
    left, right = 0, r
    while left <= right:
        mid = (left + right) / 2
        if reuleaux_triangle(r, mid):
            left = mid + 0.0000001
        else:
            right = mid - 0.0000001

    return left - 0.0000001

结论

给定一个半径为$r$的圆，该圆内刻有最大正方形的边长$L$满足$L=r\sqrt{2}-r\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)\approx0.5385r$。

圆内刻有最大正方形的Reuleaux三角形的面积为$S\approx0.4485r^2$。