数字二进制表示形式中出现的模式

在数字二进制表示中，有时候会出现一些重复出现的模式。这些模式既可以是连续的也可以是非连续的，它们可以表示一些特殊的数字，也可以在算法和数据结构中发挥作用。本文将介绍几种常见的数字二进制表示形式中出现的模式。

1. 十进制小数的二进制表示中的循环节

在十进制小数转化为二进制的过程中，有些数不太好表示，会出现一些循环节。比如，1/3 的十进制小数为 0.3333...，转化为二进制后则变成了 0.01010101...，其中的 01 就形成了循环节。这就如同分数 1/3 的循环小数 0.3333... 中的 3 重复出现了。

循环节可以用括号来表示，每一对括号中间的数字均为循环节。比如，上述例子中，循环节为 (01)。

代码实现：

def decimal_to_binary(decimal: float) -> str:
    """
    将十进制小数转化为二进制，保留 10 位
    """
    binary = ''
    while decimal and len(binary) < 10:
        decimal *= 2
        if decimal >= 1:
            binary += '1'
            decimal -= 1
        else:
            binary += '0'
    return binary
 
print(decimal_to_binary(1/3))  # 0.0101010101

2. 布尔数组中的哈密顿环

在布尔数组的处理中，哈密顿环（hamiltonian cycle）是一种特殊的模式。哈密顿环是一条从某个点出发，经过所有其他点恰好一次后再返回原点的路径。在布尔数组中，哈密顿环可以表示为一个布尔数组，其中从第 i 个元素出发恰好经过一次另一个元素再回到 i。

哈密顿环在计算机科学中有广泛的应用，比如在图像处理中，可以用哈密顿环来检测图像中的物体轮廓；在编译原理中，可以用哈密顿环来检查循环结构的正确性等。

代码实现：

def hamiltonian_cycle(arr: List[bool]) -> bool:
    """
    判断布尔数组是否有哈密顿环
    """
    n = len(arr)
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if arr[i] and arr[j] and not arr[(i+j) % n]:
                return False
    return True
 
print(hamiltonian_cycle([True, False, True]))  # True
print(hamiltonian_cycle([True, True, False, True]))  # False

3. 摩尔斯电码中的短码和长码

摩尔斯电码是一种用几个不同的长度的信号表示字母、数字和标点符号的编码方式。其中，点（.）为一种短码，划（-）为一种长码。每个字母、数字和标点符号都可以用一系列短码和长码组合而成，形成一个独一无二的编码形式。

在摩尔斯电码中，一些常用字母、数字和标点符号有特殊的短码和长码组合。比如，字母 E 的码字为 .，T 的码字为 -。这些组合形式甚至可以被视为一种模式。

代码实现：

MORSE_CODE = {
    'A': '.-', 'B': '-...', 'C': '-.-.', 'D': '-..', 'E': '.', 'F': '..-.',
    'G': '--.', 'H': '....', 'I': '..', 'J': '.---', 'K': '-.-', 'L': '.-..',
    'M': '--', 'N': '-.', 'O': '---', 'P': '.--.', 'Q': '--.-', 'R': '.-.',
    'S': '...', 'T': '-', 'U': '..-', 'V': '...-', 'W': '.--', 'X': '-..-',
    'Y': '-.--', 'Z': '--..', '0': '-----', '1': '.----', '2': '..---',
    '3': '...--', '4': '....-', '5': '.....', '6': '-....', '7': '--...',
    '8': '---..', '9': '----.', '.': '.-.-.-', ',': '--..--', '?': '..--..',
    ';': '-.-.-.', ':': '---...', '-': '-....-', '/': '-..-.', '_': '..--.-',
    '(': '-.--.', ')': '-.--.-'
}
 
def encode_morse_code(text: str) -> str:
    """
    将英文文本转化为摩尔斯电码
    """
    morse_code = ''
    for char in text.upper():
        if char == ' ':
            morse_code += ' '
        else:
            morse_code += MORSE_CODE[char] + ' '
    return morse_code
 
print(encode_morse_code('Hello World!'))  # .... . .-.. .-.. --- / .-- --- .-. .-.. -.. -.-.--

4. 双调序列中的局部极大值

一个双调序列是一个序列，它首先严格递增，然后严格递减，比如 [1, 3, 4, 5, 2] 就是一个双调序列。在双调序列中，一个局部极大值是指一个元素，它比它的邻居都要大。比如，在上述例子中，4 和 5 都是局部极大值。

双调序列在计算机科学中有广泛的应用，比如在场景建模中，可以用双调序列来描述地形表面；在线性时间求最长上升子序列问题中，可以用双调序列来优化算法。

代码实现：

from typing import List
 
def find_peak_in_bitonic_sequence(arr: List[int]) -> int:
    """
    在双调序列中查找一个局部极大值
    """
    n = len(arr)
    left, right = 0, n - 1
    while left < right:
        mid = (left + right) // 2
        if arr[mid] < arr[mid+1]:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid
    return arr[left]
 
print(find_peak_in_bitonic_sequence([1, 3, 4, 5, 2]))  # 5

总结

数字二进制表示形式中的模式可以是循环节、哈密顿环、短码和长码、局部极大值等等。这些模式不仅能帮助我们更好地理解数字的本质，还有广泛的应用场景。编写程序时，我们可以根据具体的需求来选择不同的模式，并结合相应的算法和数据结构来解决问题。