最小字符串分割

给定两个字符串，找到它们之间的最短字符串分割，使得两个字符串相等。我们可以将字符串分割成若干个子段，并且每个子段都必须是给定字符串中的单词。

解题思路

这道题目可以用动态规划来解决。我们定义 $dp[i][j]$ 表示以第一个字符串中第 $i$ 个字符结尾和第二个字符串中第 $j$ 个字符结尾的子串中，它们所拥有的相同的、长度最长的前缀的长度。

然后，我们就可以根据这个定义来构建出状态转移方程了： $$ \begin{aligned} dp[i][j] &= \begin{cases} dp[i-1][j-1]+1 & text1[i-1] = text2[j-1]\ 0 & text1[i-1] \neq text2[j-1] \end{cases}\ \end{aligned} $$

其中，$text1[i-1]$ 和 $text2[j-1]$ 分别表示第一个字符串和第二个字符串中下标为 $i-1$ 和 $j-1$ 的字符。

最后，我们只需要找到最长的相同前缀的长度，然后用整个字符串的长度减去这个长度，就是我们要求的最短字符串分割。

下面是完整的解题代码实现：

class Solution:
    def shortestCommonSupersequence(self, str1: str, str2: str) -> str:
        # 初始化 dp 数组
        n, m = len(str1), len(str2)
        dp = [[0] * (m+1) for _ in range(n+1)]
        
        # 计算 dp 数组
        for i in range(1, n+1):
            for j in range(1, m+1):
                if str1[i-1] == str2[j-1]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
                    
        # 构造最短字符串
        ans, i, j = "", n, m
        while i > 0 and j > 0:
            if str1[i-1] == str2[j-1]:
                ans = str1[i-1] + ans
                i -= 1
                j -= 1
            elif dp[i-1][j] >= dp[i][j-1]:
                ans = str1[i-1] + ans
                i -= 1
            else:
                ans = str2[j-1] + ans
                j -= 1
                    
        while i > 0:
            ans = str1[i-1] + ans
            i -= 1
        while j > 0:
            ans = str2[j-1] + ans
            j -= 1
                
        return ans

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2)$，其中 $n$ 表示字符串的长度。
• 空间复杂度：$O(n^2)$，我们需要用一个二维数组来保存 DP 的状态。