为植物浇水所需的最少喷水器

任务描述：给定一个区域和一些喷水器，每个喷水器都可以覆盖一个圆形区域， 求最少需要多少个喷水器才能覆盖整个区域。

算法思路

我们可以采用贪心算法来解决这个问题。从起点开始分析，每次选取一个可以覆盖面积最大的喷水器进行放置，然后将这个区域内所有被覆盖的点标记为已被覆盖。然后再找出剩余未被覆盖的点中可以被覆盖面积最大的喷水器，直到所有的点都被覆盖。

也就是说，我们需要先对喷水器按照覆盖半径从大到小进行排序，然后从第一个喷水器开始遍历每个点，如果当前点没有被覆盖，则将该点设置为已被覆盖，并且将所有可以被当前喷水器覆盖的点标记为已被覆盖。继续遍历，直到所有点都被覆盖。

代码实现

def get_min_sprinkler_count(area: List[List[int]], sprinklers: List[Tuple[int, int, int]]) -> int:
    # 排序喷水器，按照喷水器半径从大到小排序
    sorted_sprinklers = sorted(sprinklers, key=lambda x: x[2], reverse=True)

    # 初始化标记数组
    n, m = len(area), len(area[0])
    covered = [[False] * m for _ in range(n)]

    # 遍历每个点，尝试放置喷水器
    count = 0
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            if not covered[i][j]:
                # 找到可以覆盖当前点的喷水器，进行放置
                max_sprinkler = None
                for s in sorted_sprinklers:
                    x, y, r = s
                    if (x - i) ** 2 + (y - j) ** 2 <= r ** 2:
                        max_sprinkler = s
                        break
                if max_sprinkler is not None:
                    # 将已被覆盖的点进行标记
                    x, y, r = max_sprinkler
                    for dx in range(-r, r + 1):
                        for dy in range(-r, r + 1):
                            if 0 <= i + dx < n and 0 <= j + dy < m and (dx ** 2 + dy ** 2) <= r ** 2:
                                covered[i + dx][j + dy] = True
                    count += 1

    return count

测试案例

下面给出一些测试案例，供读者参考。

# 测试数据
area = [
    [0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0],
]
sprinklers = [(0, 0, 2), (1, 2, 1), (3, 4, 1)]

# 测试
assert get_min_sprinkler_count(area, sprinklers) == 2

# 测试数据
area = [
    [0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0],
]
sprinklers = [(0, 0, 2), (2, 2, 1), (4, 4, 1)]

# 测试
assert get_min_sprinkler_count(area, sprinklers) == 3

# 测试数据
area = [
    [0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0],
]
sprinklers = [(0, 0, 3), (2, 2, 2), (4, 4, 1)]

# 测试
assert get_min_sprinkler_count(area, sprinklers) == 1

性能分析

本算法的时间复杂度为 O(n^3logn)，其中 n 表示区域的大小，即行数与列数的乘积。这是因为我们需要对喷水器进行排序，排序的时间复杂度为 O(nlogn)，而对于每个点，我们需要尝试放置每个喷水器，时间复杂度为 O(n^2)。因此总时间复杂度为 O(n^3logn)。

空间复杂度为 O(n^2)，即标记数组的大小。