筛网 (Sieve)

筛网是一种快速找出素数的算法。该算法的基本思想是从2开始，将每个质数的倍数都标记成合数，然后再从未被标记的数中找到下一个质数，重复上述步骤。

筛网算法的复杂度为O(n*log(log(n)))，是一种高效的筛素数的算法。

算法流程

1. 初始化一个长度为n+1的bool数组，全部赋值为true。
2. 从2开始循环至n，如果当前数字的布尔值为true，则将其所有的倍数都标记为false。
3. 循环结束后，所有未被标记为false的数字都是素数。

实现

下面是C++实现的代码片段：

vector<int> sieve(int n) {
    vector<bool> is_prime(n + 1, true);
    vector<int> primes;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (is_prime[i]) {
            primes.push_back(i);
            for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
                is_prime[j] = false;
            }
        }
    }
    return primes;
}

这个函数的输入参数是正整数n，输出的是一个vector，包含2到n之间的所有素数。

该函数的时间复杂度为O(n*log(log(n)))，空间复杂度为O(n)。

优化

下面是一些优化的思路：

1. 只需要遍历到sqrt(n)即可，因为所有大于sqrt(n)的合数肯定有一个小于sqrt(n)的质因子。
2. 使用位图节约空间，将bool数组换成unsigned int类型，用位运算来标记数字是否为合数。
3. 多线程优化，并行处理多个区间的数。

总结

筛网算法是一种高效的找出素数的算法，其实现非常简单，时间复杂度较低。在实际应用中，可以根据自己的需要进行优化，提高执行效率。