序列最小错位

1. 问题描述

给定一个序列，以及对该序列进行任意一次旋转后得到的序列，求序列旋转前的最小错位。

例如，对于序列 [4,5,6,7,1,2,3]，旋转后得到 [1,2,3,4,5,6,7]，则序列旋转前的最小错位为 4。

2. 算法分析

对于任意一个旋转后的序列，可以将其拆分成两个有序序列。如上述例子 [1,2,3,4,5,6,7]，可以拆分成两个有序序列 [1,2,3] 和 [4,5,6,7]。原序列的最小错位就是两个有序序列中的最小错位。

而对于两个有序序列中的最小错位，可以使用二分查找进行求解。具体来说，可以将一个有序序列中的每个元素作为锚点，找到另一个序列中与该锚点的距离最近的元素，再以该元素作为锚点，继续查找即可。最终，在所有锚点中选取一个最小的错位即可。

3. 代码实现

def minDisplacement(a, b):
    """
    给定旋转前后的序列 a 和 b，返回最小错位距离。
    """
    n = len(a)
    mid = -1
    for i in range(n):
        if a[i] < a[(i-1)%n] and a[i] < a[(i+1)%n]:
            mid = i
            break

    # 将序列 b 拆分成两个有序序列
    left, right = [], []
    for i in range(n):
        if i <= mid:
            left.append(b[i])
        else:
            right.append(b[i])
    right.extend(left)

    # 使用二分查找求解最小错位距离
    ans = float('inf')
    for i in range(n):
        lo, hi = 0, n-1
        while lo <= hi:
            mid = (lo + hi) // 2
            if a[i] <= right[mid]:
                hi = mid - 1
            else:
                lo = mid + 1
        dis = abs(a[i] - right[lo])
        if lo > 0:
            dis = min(dis, abs(a[i] - right[lo-1]))
        if lo < n-1:
            dis = min(dis, abs(a[i] - right[lo+1]))
        ans = min(ans, dis)
    return ans

4. 性能分析

该算法的时间复杂度为 $O(n \log n)$，其中二分查找的时间复杂度为 $O(\log n)$，最外层循环的时间复杂度为 $O(n)$。空间复杂度为 $O(n)$，需要额外开辟 left 和 right 两个数组。

5. 参考资料

• LeetCode 题解