无向图中奇数和偶数度节点的度数之和之间的差异

在无向图中，每个节点的度数是它连接的边的数量。如果一个节点连接了偶数条边，我们称它为偶数度节点，否则称之为奇数度节点。比如，下图中的节点 1 和节点 3 的度数都是 3，它们都是奇数度节点。

     2
    /\
   /  \
  1----3
   \  /
    \/
     4

我们可以定义无向图中奇数度节点的度数之和为 $S_o$，偶数度节点的度数之和为 $S_e$，则它们的差异：

$$D = | S_o - S_e |$$

我们的任务是计算 $D$，并解释其含义。

计算 $D$

让我们从无向图的数据结构开始：

graph = {
    '1': ['2', '3', '4'],
    '2': ['1', '3'],
    '3': ['1', '2', '4'],
    '4': ['1', '3']
}

这个数据结构表示了上面那张图的连接状况。我们可以编写一个函数，统计图中的奇数和偶数度节点的度数之和。我们可以通过对每个节点的度数取模 2 来判断它是奇数还是偶数度节点：

def count_odd_even_degrees(graph):
    odd_degree_sum = 0
    even_degree_sum = 0
    for node in graph:
        degree = len(graph[node])
        if degree % 2 == 0:
            even_degree_sum += degree
        else:
            odd_degree_sum += degree
    return odd_degree_sum, even_degree_sum

这个函数返回一个元组，分别是奇数和偶数度节点的度数之和。我们现在可以计算 $D$ 并返回一个字符串，表示结果：

def count_diff(graph):
    odd_degree_sum, even_degree_sum = count_odd_even_degrees(graph)
    diff = abs(odd_degree_sum - even_degree_sum)
    return f"The difference between the sum of odd degree nodes and the sum of even degree nodes is {diff}."

这样我们就可以调用 count_diff(graph) 来计算 $D$ 的值了。

含义

那么这个 $D$ 值代表了什么呢？我们可以从两个方面来分析。

第一个方面是图的连通性。我们知道，如果一个无向连通图中存在奇数度节点，那么这个图中肯定存在奇数条欧拉回路。这是一个经典的结论，这里不再详述。因此，如果 $D$ 值为奇数，那么这个图就一定是非欧拉图。如果 $D$ 值为偶数，则无法断定这个图是否是欧拉图，因为存在既不是奇数也不是偶数的情况，比如：

  1----2
   \  / \
    \/   \
    3     4

这个图中 $D = 4 - 4 = 0$，但它并不是欧拉图，因为它有两个奇数度的节点。

第二个方面是图的平衡性。一个图的奇数度节点和偶数度节点越接近，说明这个图越平衡，它的性质更加对称。因此，$D$ 值的大小也表明了无向图的平衡程度。对于一般的无向图，$D$ 值很难会很大，因为每个节点的度数都不会太大，这导致两者之间的差距比较小。然而，对于一些特殊的拓扑结构，比如完全图或者二分图，$D$ 值将会很小，因为所有节点的度数都非常平衡。