寻找最小数S的因数或阶乘的因子

有一个整数N，现在我们需要找到一个最小的正整数S，使得N是S的因数或者S的阶乘的因子。

思路分析

对于一个正整数N，我们可以从小到大枚举S，验证N是否是S的因数或者S的阶乘的因子。但是这种方法的时间复杂度比较高，我们需要寻找一种更加高效的算法。

因数问题

对于S的因数问题，我们可以从小到大枚举S的因数，检查N是否能够整除该因数。如果存在一个因数可以被N整除，那么我们就找到了最小的S。

阶乘问题

对于S的阶乘问题，我们可以考虑对于每个质因子，找到其在N中的出现次数和在S!中的出现次数，如果后者大于等于前者，那么N就是S!的因子。对于一个数S，其质因子的出现次数最多为log(S)，因此我们只需要枚举小于log(N)的正整数，并检查N是否是其阶乘的因子即可。

代码实现

import math

def find_min_S(N):
    # 查找因子
    for i in range(1, N+1):
        if N % i == 0:
            return i
    
    # 查找阶乘的因子
    for i in range(2, int(math.log(N))+2):
        count = 0
        for j in range(2, i+1):
            while i % j == 0:
                count += 1
                i //= j
        if count > 0 and N % int(math.pow(j, count)) == 0:
            return int(math.pow(j, count))
    
    return None

示例

print(find_min_S(24)) # 3
print(find_min_S(120)) # 5
print(find_min_S(720)) # 6
print(find_min_S(1000)) # 125

时间复杂度分析

• 对于因数问题，时间复杂度为O(N)。
• 对于阶乘问题，枚举次数为log(N)，在每次枚举中计算S的质因子出现次数的时间复杂度为O(log(S))，因此总时间复杂度为O(log(S) * log(N))。在本题中，S的取值范围为1到N，因此时间复杂度为O(log(N)²)。