门(GATE-CS-2014-(Set-1)) | 问题 23

这是一道关于排序算法的问题。给定一个整数数组 $A$，现在需要选择一个下标 $p$ 和一个值 $v$，使得将所有小于 $v$ 的元素移动到数组 $A$ 的左侧，所有大于等于 $v$ 的元素移动到数组 $A$ 的右侧。其中 $p$ 是满足所有小于 $v$ 的元素在数组 $A$ 的左侧，所有大于等于 $v$ 的元素在数组 $A$ 的右侧的下标中最小的一个。

这个问题可以通过多种排序算法来解决，例如选择排序、冒泡排序、插入排序、快速排序等等。由于本题的数据规模较小，任意排序算法的时间复杂度都不会成为瓶颈，但为了达到最优解，我们应该选择效率更高的算法。

其中最优解应该为时间复杂度为 $O(n)$ 的算法，可以通过单次遍历数组完成排序。下面给出一种基于两个指针的快速排序算法，时间复杂度为 $O(n)$。

def quick_sort(A, v):
    n = len(A)
    i, j = 0, n - 1
    while i < j:
        while i < n and A[i] < v:
            i += 1
        while j >= 0 and A[j] >= v:
            j -= 1
        if i < j:
            A[i], A[j] = A[j], A[i]
    return i

这个算法首先用两个指针 $i$ 和 $j$ 分别指向数组 $A$ 的两端。然后两个指针分别从两端往中间靠拢，每次移动时都检查当前元素与 $v$ 的大小关系，并根据大小关系交换元素位置。最后将指针 $i$ 返回即可。

需要注意的是，当 $A$ 中所有元素都小于 $v$ 时，指针 $i$ 会移动到 $n$，导致越界。因此需要在第一个 while 循环中增加 $i < n$ 的判断。

此外，如果数组中存在重复的元素，那么这个算法可能会导致出现一些问题。如果需要解决这个问题，可以通过改变两个指针移动方式的顺序来避免。

以上是一种时间复杂度为 $O(n)$ 的解决方案，可以在较短时间内完成题目要求。