使用 sqrt 分解查询 rmq - C++

本文将介绍使用 sqrt 分解进行 RMQ（最小值查询），RMQ 是一种经典问题，在许多数据结构和算法中都有涉及，它的目标是在一段区间内查询最小值。我们通常使用一些数据结构，例如线段树，ST 表等，但在这里，我们将介绍另一种称为 sqrt 分解的方法。

问题描述

给定一个包含 n 个元素的数组 a，以及 m 个询问，每个询问包含两个整数 l 和 r（1 <= l <= r <= n），询问数组 a 在区间 [l, r] 范围内的最小值。

算法思路

sqrt分解算法的思路如下：

1. 将原数组划分为 $sqrt(n)$ 个块
2. 对于每个块，预处理出一个最小值和它所代表的位置
3. 对于询问 [l, r]，分别计算 [l, l_block_end]，(l_block_end, r_block_start]，[r_block_start, r]，以及每个完整块的最小值
4. 取所有值中的最小值

由于每个块中的元素数量为 $sqrt(n)$，那么处理每个块的最小值可以使用 O($sqrt(n)$) 的时间复杂度，在 $m$ 个询问中，每一次询问最差情况下需要处理的区间数量为 $3$，以及每个完整块的数量为 $\frac{n}{sqrt(n)}=\sqrt(n)$，因此总时间复杂度为 O($m\sqrt(n)$)。

代码实现

首先，我们需要先预处理出所有块中的最小值和它所代表的位置。

const int MAXN = 1e5;
const int SQRN = 316; // sqrt(MAXN) 
int n, a[MAXN + 5], b[SQRN + 5], pos[MAXN + 5], S;

void prework() {
    S = sqrt(n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        b[pos[i] = (i - 1) / S + 1] = i;
        if (i % S == 1) {
            int f = pos[i];
            for (int j = i; j <= min(n, i + S - 1); j++) {
                if (a[j] < a[b[f]]) b[f] = j;
            }
        }
    }
}

然后，我们需要分别计算出 l、r 所在块中的最小值，并计算所有完整块的最小值，比较它们之中的最小值。

int query(int l, int r) {
    int ans = INT_MAX;
    if (pos[l] == pos[r]) {
        for (int i = l; i <= r; i++) ans = min(ans, a[i]);
        return ans;
    }
    for (int i = l; pos[i] == pos[l]; i++) ans = min(ans, a[i]);
    for (int i = r; pos[i] == pos[r]; i--) ans = min(ans, a[i]);
    for (int i = pos[l] + 1; i < pos[r]; i++) ans = min(ans, a[b[i]]);
    return ans;
}

最后，我们将预处理和查询整合到一个主函数中：

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    prework();
    int m;
    cin >> m;
    while (m--) {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        cout << query(l, r) << endl;
    }
    return 0;
}

总结

这篇文章介绍了如何使用 sqrt 分解方法解决 RMQ 问题，它的时间复杂度为 O($m\sqrt(n)$)，要比线段树和 ST 表更加高效。同时，这种方法也可以用来解决其他问题，例如区间众数查询。