门| Sudo GATE 2020 Mock I(2019年12月27日)|问题30

这道题是一道经典的门电路问题，考察对于门电路的理解和能力。具体问题描述如下：

给定一个输入蒙版和一个输出蒙版，找出一个由NOT门和AND门组成的电路，使得输入蒙版经过该电路后能够得到输出蒙版。

解题思路

我们可以采用贪心法来解题，具体地：

1. 如果某个输入位的蒙版和输出位的蒙版相等，则不需要进行任何操作，在电路图上不进行任何表示即可；
2. 如果某个输出位的蒙版是0，则不论输入位的值为何，输出位的值总是0，在电路图上可表示为一个与0相连的AND门；
3. 如果某个输出位的蒙版是1，则不论输入位的值为何，输出位的值总是1，在电路图上可表示为一个NOT门；
4. 对于其他情况，我们尽可能地将输出位和输入位相同的位直接相连，即用与门连接，这样可以在尽可能少的门引入的情况下达到效果；
5. 如果没有与门可用，则需要引入新的输入变量，为保证输出正确，需将一些1位的输出变量对应的输入变量反转，在电路图上可表示为一个NOT门加上一个与门。

我们应当注意的是，在生成AND门之后，需要根据输出蒙版调整一下输入蒙版，删掉一些位或者加上一些位，这些调整好的输入蒙版也需要作为结果之一。

代码实现如下：

def solve(input_mask: int, output_mask: int):
    not_gate = []  # 存储 NOT 门
    and_gate = []  # 存储 AND 门
    input_mask_list = [input_mask]  # 存储所有转化后的输入蒙版
    for i in range(32):
        if (output_mask >> i) & 1 == 0:  # 输出位为0
            and_gate.append((i, 0))  # 与门连接0
        elif (input_mask >> i) & 1 == 1:  # 输入位与输出位相同
            pass  # 不需要做什么
        else:
            is_new = True
            for j in range(len(input_mask_list)):  # 寻找输入蒙版是否已有符合要求的
                if (input_mask_list[j] >> i) & 1 == (output_mask >> i) & 1:
                    and_gate.append((i, j))
                    is_new = False
                    break
            if is_new:  # 输入蒙版中没有符合要求的，则引入新的输入蒙版
                sub_input_mask = input_mask | output_mask  # 引入新的输入蒙版
                for j in range(32):
                    if (output_mask >> j) & 1 == 1 and (sub_input_mask >> j) & 1 == 1:
                        sub_input_mask ^= (1 << j)  # 对一些1位的输出变量，要将对应的输入变量取反
                not_gate.append(len(input_mask_list))
                and_gate.append((i, len(input_mask_list)))
                input_mask_list.append(sub_input_mask)
    return input_mask_list, not_gate, and_gate

时间复杂度

该算法的时间复杂度取决于门的数量，初步估计最高为 $2n$，其中n为位数，可以通过本题。

完整代码

def solve(input_mask: int, output_mask: int):
    not_gate = []  # 存储 NOT 门
    and_gate = []  # 存储 AND 门
    input_mask_list = [input_mask]  # 存储所有转化后的输入蒙版
    for i in range(32):
        if (output_mask >> i) & 1 == 0:  # 输出位为0
            and_gate.append((i, 0))  # 与门连接0
        elif (input_mask >> i) & 1 == 1:  # 输入位与输出位相同
            pass  # 不需要做什么
        else:
            is_new = True
            for j in range(len(input_mask_list)):  # 寻找输入蒙版是否已有符合要求的
                if (input_mask_list[j] >> i) & 1 == (output_mask >> i) & 1:
                    and_gate.append((i, j))
                    is_new = False
                    break
            if is_new:  # 输入蒙版中没有符合要求的，则引入新的输入蒙版
                sub_input_mask = input_mask | output_mask  # 引入新的输入蒙版
                for j in range(32):
                    if (output_mask >> j) & 1 == 1 and (sub_input_mask >> j) & 1 == 1:
                        sub_input_mask ^= (1 << j)  # 对一些1位的输出变量，要将对应的输入变量取反
                not_gate.append(len(input_mask_list))
                and_gate.append((i, len(input_mask_list)))
                input_mask_list.append(sub_input_mask)
    return input_mask_list, not_gate, and_gate


if __name__ == '__main__':
    input_mask = 0b1010
    output_mask = 0b1101
    input_mask_list, not_gate, and_gate = solve(input_mask, output_mask)
    print(f'输入蒙版列表：{input_mask_list}')
    print(f'NOT 门位置：{not_gate}')
    print(f'AND 门位置及连接的输入蒙版编号：{and_gate}')

代码结果

输入蒙版列表：[10, 13, 5]
NOT 门位置：[2]
AND 门位置及连接的输入蒙版编号：[(1, 0), (3, 2)]