等级祖先问题介绍

在某些场景下，会出现需要找到一个节点的某个上级节点的问题，这就是等级祖先问题。在树结构中，每个节点都有其父节点，那么我们如何快速找到一个节点的父节点、或者祖父节点？

问题描述

假设有一棵树，每个节点都有其父节点，节点的深度即为它距离根节点的距离，假设我们需要找到某个节点的 k 个祖先节点，那么如何快速找到这些节点？

解决方案

方法一：暴力搜索

暴力搜索是最常见和简单的方法，即从目标节点开始不断查找其父节点，直到找到 k 个祖先节点。但是，这种方法的时间复杂度为 O(k * n)，其中 n 是树的总节点数。

def find_k_ancestor(node, k):
    ancestor = []
    while node and k > 0:
        ancestor.append(node)
        node = node.parent
        k -= 1
    return ancestor

方法二：预处理

预处理是一种优化方法，可以将每个节点的多个祖先节点记录下来，以便快速查找。我们可以使用动态规划的思想，使用一个二维数组记录每个节点的 2^i 级祖先节点，即：

• ancestor[i][j] 表示节点 i 的 2^j 级祖先节点。

在预处理时，以深度优先遍历的方式填充这个二维数组。通过预处理，我们可以在 O(logk) 的时间内查找节点的 k 级祖先节点。

class Solution(object):
    def __init__(self, root):
        self.dp = [[-1 for _ in range(20)] for _ in range(len(root))]
        self.dfs(root, None, 0)
    
    def dfs(self, node, parent, depth):
        # 记录节点的深度和直系祖先节点
        self.dp[node][0] = parent
        for i in range(1, 20):
            if self.dp[node][i-1] != -1:
                self.dp[node][i] = self.dp[self.dp[node][i-1]][i-1]
        # 递归处理子节点
        for child in node.children:
            if child != parent:
                self.dfs(child, node, depth+1)
    
    def find_k_ancestor(self, node, k):
        while k > 0 and node is not None:
            # 如果 k 的二进制表达式末位为 1，即 k % 2 == 1，则找到一个祖先节点
            if k & 1:
                node = self.dp[node][int(math.log2(k))]
            # 否则继续查找其它祖先节点
            k >>= 1
        return node

总结

• 等级祖先问题是在树结构中查找某个节点的上级节点（即祖先节点）的问题。
• 暴力搜索是最简单和直接的方法，但时间复杂度为 O(k * n)，不适用于大规模数据。
• 预处理是优化方法，可以先将各个节点的多个祖先节点记录下来，以便快速查找，时间复杂度为 O(logk)。