字符串在其所有子字符串中的词法等级

该主题涉及字符串算法中的一种经典问题，即如何确定字符串在其所有子字符串中的词法等级。

问题描述

给定一个字符串S，对于S中的任意一个子字符串T，我们定义T的词法等级等于字典序比T小的字符串的个数加1。也就是说，如果T是S的第k小子字符串，那么T的词法等级就是k。现在的问题是如何求解S中所有子字符串的词法等级。

解决方案

一种朴素的方法是枚举所有子字符串并排序，然后在排序后的数组中查找每个子字符串的排名。但是这样的时间复杂度为O(n^3 logn)，显然不是太高效。

更好的方法是使用后缀数组和最长公共前缀数组。后缀数组是字符串S所有后缀的字典序排名的数组，最长公共前缀数组是字符串S所有相邻后缀的最长公共前缀的数组。它们可以在线性时间内建立。具体而言：

1. 构造S的后缀数组SA和最长公共前缀数组LCP。

2. 对于S的任意子串T，设T在S中的起始位置为p，长度为len，则T的排名为$\sum_{i=p}^{p+len-1} SA[i] - (\frac{len \times (len+1)}{2} - \sum_{i=1}^{len-1}LCP[p+i]) + 1$。

3. 因此，我们可以得到S中所有子字符串的词法等级。

代码实现

下面是一个Python实现的例子：

def calc_rank(s):
    n = len(s)
    if n == 0:
        return {}
    if n == 1:
        return {s: 1}
    
    # 构造后缀数组SA和最长公共前缀数组LCP
    # 具体的实现可以使用一些现成的算法库
    # 这里为了简单起见，使用了Naive的算法
    sa = sorted(range(n), key=lambda i: s[i:])
    lcp = [0] * n
    for i in range(1, n):
        j = 0
        while j < i and sa[i] + j < n and sa[i-1] + j < n and s[sa[i] + j] == s[sa[i-1] + j]:
            j += 1
        lcp[i] = j
    
    # 计算每个子串的排名
    rank = {}
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            p = min(sa[i], sa[j])
            len = j - i + 1
            sum_sa = sum(sa[i:j+1])
            sum_lcp = sum(lcp[p:p+len-1])
            r = sum_sa - (len*(len+1)//2) + sum_lcp + 1
            substr = s[p:p+len]
            rank[substr] = r
    
    return rank

该代码中calc_rank函数接受一个字符串s，返回一个字典，其中键为s的所有子串，值为对应子串的词法等级。