门|门 CS 1996 |问题 24

这是一道经典的谷歌面试题，也被称为“推销员问题”。它涉及到图论中的哈密顿回路问题：即一条通过所有节点恰好一次的路径。

题目描述

给定一个N个节点的完全图，每个节点都与其他节点连接。每条连接的权重是一个随机的正整数。现在，你是一个推销员，你需要通过这个网格上的所有节点，各一次且回来起点节点。你想知道经过哪些节点和路径能够达到最小花费。你需要为给出的节点和路径写出一个程序，确保它返回正确的结果。

解法

Brute Force

最显然的解法，枚举所有可能的路径，计算它们的花费，并返回最小花费路径。时间复杂度为O(n!)，当n很大时，是无法处理的。

动态规划

由于该图是完全图，可以考虑采用动态规划的方式。构造一个矩阵，行表示当前经过的节点集合，列表示结束节点，每个值表示当前集合下，从起点到结束节点的最短路径长度。初始状态为dp[{},i]=w[0][i]，即从起点到i的边权。进行状态转移时，需要枚举前一个点j，当前节点集合为S，那么dp[S,i]=min{dp[S-{i},j]+w[j][i]}。时间复杂度为O(2^n * n^2)。

状态压缩DP

在上面的基础上，由于每个集合的取值只与集合内元素有关，可以使用状态压缩的方式将二进制状态表示为整数，改进状态转移的时空效率。时间复杂度为O(3^n * n)。

遗传算法

遗传算法是一种基于自然选择和自然遗传机制的优化算法。在本问题中，可以将经过的节点序列作为一个基因序列，采用基因重组、变异等方式进行优化。具体可以在枚举、动态规划等方法的基础上，加入一定的遗传操作。

代码

下面给出状态压缩DP的代码片段：

def tsp(w, n):
    dp = [[float('inf')] * n for _ in range(1 << n)]
    dp[1][0] = 0
    for S in range(1, 1 << n, 2):
        for i in range(n):
            if not (S >> i & 1):  # 节点不在集合S中
                continue
            for j in range(n):
                if i == j or not (S >> j & 1):  # 节点不在集合S中或i==j
                    continue
                dp[S][i] = min(dp[S][i], dp[S - (1 << i)][j] + w[j][i])
    return min(dp[(1 << n) - 1][i] + w[i][0] for i in range(n))

总结

门|门 CS 1996 |问题 24，是一道经典的图论问题，通过本题可以学习到常见图论问题的解法，如暴力枚举、动态规划、状态压缩DP、遗传算法等。该问题还涉及到经典的哈密顿回路问题。需要掌握这些算法，加深对图论知识的掌握，提高问题解决能力。